Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Elaboração própria

Encontre d y d x no ponto ( 1,1 ) diferenciando implicitamente a curva definida por

x y = 2 x 3 y 2 - 1

Passo 1

Bom, ele pediu a derivada de y em relação a x . Para isso ele pede que a gente faça derivação implícita. Lembra que a derivação se caracteriza por adicionar um y ' (pela Regra da Cadeia) na derivação, que é justamente quem a gente procura, no ponto ( 1,1 ) .

x y ' = 2 x 3 y 2 - 1 '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o primeiro termo, temos que derivar a raiz e depois adicionar, pela Regra da Cadeia, a derivada do que está dentro dela:

x y ' = 1 2 1 x y x y '

Passo 3

Para o termo da derivada ali em cima, usamos a Regra do Produto, lembrando que y é derivada de forma implícita:

1 2 1 x y x y ' = 1 2 1 x y 1 y + x y ' = 1 2 1 x y y + x y '

Passo 4

Para o segundo termo basta derivar direto, usando a Regra do Produto no segundo termo:

2 x 3 y 2 - 1 ' = 2 3 x 2 y 2 + 2 x 3 2 y y ' + 0 = 6 x 2 y 2 + 4 x 3 y y '

Passo 5

Juntando tudo:

x y ' = 2 x 3 y 2 - 1 '

1 2 x y y + x y ' = 6 x 2 y 2 + 4 x 3 y y '

Substituindo x ,   y por ( 1,1 ) :

1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) y ' = 6 1 2 1 2 + 4 1 3 1 y '

1 2 1 + y ' = 6 + 4 y '

1 2 + y ' 2 = 6 + 4 y '

Multiplicando tudo por 2:

1 + y ' = 12 + 8 y '

7 y ' = - 11

y ' = - 11 7

Resposta

y ' = d y d x = - 11 7

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