Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp 209 – 62

O fólio de Descartes

a Encontre o coeficiente angular do fólio de Descartes, x 3 + y 3 - 9 x y = 0 nos pontos 4,2 e 2,4

b Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?

c Encontre as coordenadas do ponto A da figura, onde o fólio tem uma tangente vertical.

Passo 1

a O cara nos pediu o coeficiente angular,   a . O que eu te contei na teoria? O coeficiente angular é a derivada da função avaliada nos pontos que ele nos deu. Então vamos precisar derivar a expressão do fólio.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos achar a derivada y ' por Derivação Implícita:

x 3 + y 3 - 9 x y ' = 0 '

x 3 ' + y 3 ' - 9 x y ' = 0

Observa que para o termo 9 x y , vamos precisar usar a regra do produto

3 x 2 + 3 y 2 y ' - 9 x ' y - 9 x y ' = 0

3 x 2 + 3 y 2 y ' - 9 y - 9 x y ' = 0

y ' 3 y 2 - 9 x = 9 y - 3 x 2

y ' = 9 y - 3 x 2 3 y 2 - 9 x

Passo 3

Aplicando os pontos, ficamos com:

y ' 4,2 = 9 2 - 3 4 2 3 2 2 - 9 4 = 18 - 48 12 - 36

= - 30 - 24 = 5 4

y ' 2,4 = 9 4 - 3 2 2 3 4 2 - 9 2 = 36 - 12 48 - 18

= 24 30 = 4 5

Passo 4

b Ele pede que achemos o ponto onde a tangente é horizontal.

Ora, uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, seu coeficiente angular é nulo. Portanto, o que queremos achar é:

y ' = 9 y - 3 x 2 3 y 2 - 9 x = 0

9 y - 3 x 2 = 0

y = x 2 3

Ou seja, todos os pontos que satisfazem essa igualdade vão zerar a derivada.

Passo 5

Para encontrar o ponto que vem dessa igualdade, jogamos ela na equação da curva:

x 3 + y 3 - 9 x y = 0

x 3 + x 6 27 - 9 x x 2 3 = 0

x 3 + x 6 27 - 3 x 3 = 0

x 6 27 - 2 x 3 = 0

Multiplicando tudo por 27

x 6 - 54 x 3 = 0

x 6 - 54 x 3 = 0

x 3 x 3 - 54 = 0

Como ele pede para desconsiderar o ponto da origem, a solução x 3 = 0 não nos interessa.

x 3 = 54 x = 3 2 3

Passo 6

O y para esse valor de x vai ser:

y = x 2 3

y = 3 2 3 2 3

y = 3 4 3

O ponto será, portanto:

3 2 3 , 3 4 3

Passo 7

c Ele pede que achemos uma tangente vertical agora.

Ora, uma reta vertical tem inclinação “infinita”, ou seja, seu coeficiente angular é explode para ± . Portanto, o que queremos achar é:

y ' = 9 y - 3 x 2 3 y 2 - 9 x = ±

Isso acontecerá quando o denominador zerar sem que haja indeterminação 0 0 . Ou seja, queremos que

3 y 2 - 9 x = 0

x = y 2 3

Para encontrar o ponto que vem dessa igualdade, jogamos ela no termo inicial:

x 3 + y 3 - 9 x y = 0

y 6 27 + y 3 - 9 y y 2 3 = 0

y 6 - 54 y 3 = 0

y 3 y 3 - 54 = 0

Passo 8

Como ele pede para desconsiderar o ponto da origem, a solução y 3 = 0 não nos interessa.

y 3 = 54 y = 3 2 3

O x para esse valor de y vai ser:

x = y 2 3

x = 3 2 3 2 3

x = 3 4 3

O ponto A será, portanto:

3 4 3 , 3 2 3

Resposta

a   y ' 4,2 = 5 4

y ' 2,4 = 4 5

b   3 2 3 , 3 4 3

c   A = 3 4 3 , 3 2 3

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