Classifique e resolva a equação abaixo com o método apropriado.

x + 3 x 3 s e n y d x + x 4 cos ⁡ y d y = 0 ,     x > 0

Passo 1

Olha aí, tem cara de equação exata, mas não é exata.

Por que não? Porque

M x , y = x + 3 x 3 s e n y → ∂ M ∂ y = 3 x 3 cos ⁡ y

N x , y = x 4 cos ⁡ y → ∂ N ∂ x = 4 x 3 cos ⁡ y

e vemos que

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Assim, precisamos de fato de um fator integrante para resolver esta equação quase exata.

Passo 2

Vamos calcular assim:

h x = 3 x 3 cos ⁡ y - 4 x 3 cos ⁡ y x 4 cos ⁡ y

h x = - x 3 x 4 = - 1 x

Maneiro! Uma função só de x . Vamos prosseguir!

Passo 3

Beleza, então vamos encontrar o fator integrante agora:

I x = e ∫     f x d x

I x = e ∫     - 1 x d x

I x = e - l n ⁡ | x |

I x = 1 x

E multiplicamos a equação toda por ele:

1 x x + 3 x 3 s e n y d x + 1 x x 4 cos ⁡ y d y = 0

1 + 3 x 2 s e n y d x + x 3 cos ⁡ y d y = 0

Passo 4

A nova equação é exata, aí fazemos o mesmo procedimento:

M x , y = 1 + 3 x 2 s e n y → ∂ M ∂ y = 3 x 2 cos ⁡ y

N x , y = x 3 cos ⁡ y → ∂ N ∂ x = 3 x 2 cos ⁡ y

Agora sim,

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 5

Vamos tomar primeiro a integral

∫     M x , y d x = ∫ 1 + 3 x 2 s e n y d x = x + x 3 sen ⁡ y + g y

E derivamos isso com relação a y :

∂ ∂ y x + x 3 sen ⁡ y + g y = x 3 cos ⁡ y + g ' y

Passo 6

Igualando o obtido no passo 5 com N x , y :

x 3 cos ⁡ y = x 3 cos ⁡ y + g ' y

g ' y = 0

Integrando para obtermos g y (sem acrescentar a constante):

∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = 0

Passo 7

Obtenha a função u x , y = ∫     M x , y d x :

u x , y = x + x 3 sen ⁡ y

A solução é dada por u x , y = C :

x + x 3 sen ⁡ y = C

Resposta

I x = 1 x

x + x 3 sen ⁡ y = C

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores