Determine a solução geral da equação

e x d x + e x cotg ⁡ y + 2 y cosec ⁡ y d y = 0

Passo 1

Essa equação tem uma cara de equação exata, mas para dizer isso temos que verificar. A cara da equação exata é

P x . y d x + Q x , y d y = 0

Então temos

P x , y = e x

E

Q x , y = e x cotg ⁡ y + 2 y cosec ⁡ y

Vamos usar o critério ode Euler e ver se ∂ P ∂ y é igual a ∂ Q ∂ x

∂ P ∂ y = 0

E

∂ Q ∂ x = e x cotg ⁡ y

E acabamos de ver que esses caras são diferentes, então essa equação não é exata.

E agora? Vamos ver se essa equação tem um fator integrante.

Passo 2

Vamos achar o fator integrante, vamos ver se ele existe dependendo só de x

λ = e - ∫ f x d x

Com

f x = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y Q

Então vamos achar essa função f x

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = e x cotg ⁡ y

E vamos ter

f x = e x cotg ⁡ y e x cotg ⁡ y + 2 y cosec ⁡ y

Essa função não depende só de x , então ele não tem um fator integrante que depende só de x , temos que olhar se tem um que depende só de y .

Passo 3

Vamos achar o fator integrante, vamos ver se ele existe dependendo só de x

λ = e ∫ h y d y

Com

h y = ∂ Q ∂ y - ∂ P ∂ x P

Então vamos achar essa função h y

∂ Q ∂ y - �� P ∂ x = e x cotg ⁡ y - e x

E vamos ter

h y = e x cotg ⁡ y e x = cotg ⁡ y

Opa, ele depende só de y então é um fator integrante.

Vamos achar a integral de h y para acharmos o fator integrante

∫ cotg ⁡ y d y = - ln ⁡ cosec ⁡ y = ln ⁡ cosec ⁡ y - 1 = ln ⁡ sen ⁡ y

O fator integrante vai ser

λ = e ln ⁡ sen ⁡ y = sen ⁡ y

Então podemos pegar

λ = sen ⁡ y

Passo 4

A nossa nova equação vai ser encontrada multiplicando aquela do enunciado pelo fator integrante

e x sen ⁡ y d x + e x cotg ⁡ y sen ⁡ y + 2 y cosec ⁡ y sen ⁡ y d y = 0

Arrumando isso

e x sen ⁡ y d x + e x cos ⁡ y + 2 y d y = 0

Vamos ter

P x , y = e x sen ⁡ y

E

Q x , y = e x cos ⁡ y + 2 y

A primeira coisa que fazemos é integrar Q em relação a y

φ x , y = ∫ Q x , y d y = ∫ e x cos ⁡ y + 2 y d y

φ x , y = e x sen ⁡ y + 2 y 2 2 + k x

φ x , y = e x sen ⁡ y + y 2 + k x

Passo 5

Agora vamos derivar φ em relação a x e comparar com P

∂ φ ∂ x = e x sen ⁡ y + k ' x

E vamos ter

e x sen ⁡ y + k ' x = e x cos ⁡ y

E

k ' x = 0

Assim vamos ter

k x = C 1

Passo 6

A solução da nossa equação exata vai ser

φ x , y = C

Já temos a nossa função potencial, então

e x sen ⁡ y + y 2 + C 1 = C

Podemos juntar C - C 1 em uma constante só

e x sen ⁡ y + y 2 = C

Resposta

e x sen ⁡ y + y 2 = C

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