Nos exercícios 9 a 10 verifique que λ = λ ( x , y ) é um fator de integração que transforma a EDO dada em uma EDO exata e resolva a EDO.

10 .   s e n y y - 2 e - x s e n x d x + c o s y + 2 e - x c o s x y d y = 0 ;   λ x , y = y e x

Passo 1

Primeiro de tudo temos que colocar a equação no formato de uma equação exata.

s e n y y - 2 e - x s e n x d x + c o s y + 2 e - x c o s x y d y = 0

Que bom que a nossa já está hahaha

Agora para testarmos o fator integrante devemos multiplicar toda a equação por λ = y e x

s e n y y - 2 e - x s e n x y e x d x + y e x c o s y + 2 e - x c o s x y d y = 0

e x s e n y - 2 y s e n x d x + e x c o s y + 2 c o s x d y = 0

M x , y = e x s e n y - 2 y s e n x

N x , y = e x c o s y + 2 c o s x

Passo 2

Tá tudo bonito e agora vamos testar se essa equação realmente ficou exata.

∂ M ∂ y = e x c o s y - 2 s e n x

∂ N ∂ x = e x c o s y - 2 s e n x

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Logo temos realmente uma equação exata e já podemos começar a aplicar o método.

Passo 3

Calculando ∫ M x , y d x

∫ e x s e n y - 2 y s e n x d x = e x s e n y + 2 y c o s x + g ( y )

Passo 4

Derivando o que obtivemos no passo 2 por y .

∂ e x s e n y + 2 y c o s x + g ( y ) ∂ y = e x c o s y + 2 c o s x + g ' ( y )

Passo 5

Comparando o que temos no passo 4 com N ( x , y )

e x c o s y + 2 c o s x + g ' ( y ) = e x c o s y + 2 c o s x

g ' y = 0

Integrando a equação.

g y = 0

Passo 6

Substituindo o passo 5 no que obtivemos no passo 3 teremos a função u x , y .

e x s e n y + 2 y c o s x

A nossa solução será dada por u x , y = C

e x s e n y + 2 y c o s x = C

Resposta

10 .   e x s e n y + 2 y c o s x = C

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