Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

1iii) Calcule as seguintes integrais:

∫ x - 9 x 2 + 3 x - 10 d x

Passo 1

A primeira coisa a se fazer pra calcular essa integral é olhar bem pro fundo dos olhos dela e perguntar: o que é você? Bem, se ela não mentiu pra você, ela vai dizer: sou um polinômio dividido por outro um grau superior! Opa, então isso da uma ideia: frações parciais! Veja só:

∫ a b x + c d x = a b ln ⁡ b x + c

Então vamos tentar reescrever a integral do enunciado como uma soma de integrais como a acima, que aí a resolução sai direto, beleza? Bora lá:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O truque vai ser olhar pro denominador. Saca só:

x 2 + 3 x - 10

Pô, temos uma polinômio de segundo grau! Se fizermos Bháskara então:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Seja:

a = 1 b = 3 c = - 10

Vamos ter as seguintes raízes:

x 1,2 = - 3 ± - 3 2 - 4 . 1 . - 10 2 . 1 = - 3 ± 9 + 40 2

x 1,2 = - 3 ± 49 2 = - 3 ± 7 2 = - 3 + 7 2 = 2 - 3 - 7 2 = - 5

E logo, reescrevemos o polinômio para:

x 2 + 3 x - 10 = x + 5 x - 2

E a integral vira:

∫ x - 9 x 2 + 3 x - 10 d x = ∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x

Pelo método das frações parciais, podemos separar essa integral em três então:

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = ∫ A x + 5 d x + ∫ B x - 2 d x

Como a resolução é direta, vamos ter então:

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = A ln ⁡ x + 5 + B ln ⁡ x - 2

O truque então vai ser achar quem são as constantes A , B .

Passo 3

Pra achar as constantes, vamos esquecer a integral um pouco e ver a função dentro dela só:

x - 9 x + 5 x - 2 = A x + 5 + B x - 2

Bora por tudo no mesmo denominador pra podermos cortar ele. Vamos ter:

x - 9 x + 5 x - 2 = A x - 2 x + 5 x - 2 + B x + 5 x + 5 x - 2 +

Tirando o denominador então:

x - 9 = A x - 2 + B x + 5

E fazendo a distributiva:

x - 9 = A x - 2 A + B x + 5 B

1 x + - 9 = A + B x + 5 B - 2 A

Igualando os termos em colchetes:

A + B = 1 - 2 A + 5 B = - 9

Multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a segunda, encontramos:

2 A - 2 A + 2 B + 5 B = 2 - 9

7 B = - 7

B = - 1

Com essa informação, achamos A e logo:

A = 2 B = - 1

E fechou! O resultado da integral vai ser:

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = A ln ⁡ x + 5 + B ln ⁡ x - 2

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = 2 ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x - 2

Mas não se esqueça de por a constante de integração em!

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = 2 ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = 2 ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x - 2 + C

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