Calcule as integrais indefinidas abaixo

42 .   ∫ x 5 + x + 1 x 3 - 8 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x 5 + x + 1 x 3 - 8 d x

Mas como resolver ela?

Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais! Mas não é exatamente o que temos! Então pra isso vamos dividir o de cima pelo de baixo para depois aplicar frações parciais!

Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar dividindo o de cima pelo de baixo:

x 5 + x + 1 ÷ ( x 3 - 8 )

Para isso vamos somar e subtrair 8 x 2 no numerador

x 5 - 8 x 2 + 8 x 2 + x + 1 x 3 - 8 = x 2 x 3 - 8 + 8 x 2 + x + 1 x 3 - 8 = x 2 ( x 3 - 8 ) x 3 - 8 + 8 x 2 + x + 1 x 3 - 8

Fazendo a simplificação temos

x 2 + 8 x 2 + x + 1 x 3 - 8

Integrando esse primeiro termo temos

∫ x 2 d x = x 3 3

Beleza?

Passo 3

Nosso próximo passo é encontrar a decomposição em frações parciais daquele outro termo! Vamos separar em dois termos pois é a fatoração do denominador

8 x 2 + x + 1 x 3 - 8 = 8 x 2 + x + 1 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = A x - 2 + B x + C x 2 + 2 x + 4

Beleza? Fazendo o m m c temos

= A x 2 + 2 x + 4 + ( B x + C ) ( x - 2 ) x 3 - 8

E separando nos termos de mesma ordem

= x 2 A + B + x 2 A - 2 B + C + ( 4 A - 2 C ) x 3 - 8

Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema triplo:

= A + B = 8 2 A - 2 B + C = 1 4 A - 2 C = 1

Resolvendo esse sistema vamos encontrar os seguintes valores para A , B , C :

A = 35 12

B = 61 12

C = 16 3

E nossa integral vira três!

∫ 8 x 2 + x + 1 x 3 - 8 d x = 35 12 ∫ d x x - 2 + 61 12 ∫ x d x x 2 + 2 x + 4 + 16 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 4

Passo 4

Agora vamos integrar! A primeira é mais tranquila:

35 12 ∫ d x x - 2 = 35 12 ln ⁡ | x - 2 |  

A segunda também (usando substituição simples):

61 12 ∫ x d x x 2 + 2 x + 4 = 61 12 ∫ x d x x + 1 2 + 3

Chamando u = x + 1 temos

∫ u - 1 u 2 + 3 d u = ∫ u u 2 + 3 d u - ∫ d u u 2 + 3 = 1 2 ln ⁡ u 2 + 3 - 1 3 arctan ⁡ u 3

Retornando para x temos

61 12 1 2 ln ⁡ x + 1   2 + 3 - 1 3 arctan ⁡ x + 1   3

E por fim a terceira

16 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 4

Vamos fazer a mesma reescrita do denominador em soma de quadrados

16 3 ∫ d x x + 1 2 + 3

E usar a mesma substituição da segunda! u = x + 1 e ficamos com a integral do arco tangente!

16 3 1 3 arctan ⁡ u 3 = 1 6 3 3 arctan ⁡ x + 1 3

Agora vamos reunir todos os resultados! Dos passos 2 e 3

= x 3 3 + 35 12 ln ⁡ | x - 2 | + 61 12 1 2 ln ⁡ x + 1   2 + 3 - 1 3 arctan ⁡ x + 1   3

+ 16 3 3 arctan ⁡ x + 1 3 + C

Não esquece de colocar o + C no final!

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Resposta

x 3 3 + 35 12 ln ⁡ | x - 2 | + 61 12 1 2 ln ⁡ x + 1   2 + 3 - 1 3 arctan ⁡ x + 1   3

+ 16 3 3 arctan ⁡ x + 1 3 + C

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