Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

5)

∫ d x x 2 - 2 x - 3

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer em uma integral é olhar!

“Hm? Oi? Olhar? Como assim?”

Isso mesmo, olhar! Olhar para a integral e “conversar” com ela. Perguntar qual método é o mais conveniente para resolvê-la, pois toda integral meio que te sugere qual é esse caminho de resolução.

Parece uma coisa boba, mas por incrível que pareça isso ajuda muito. Então vamos lá! ☺

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∫ d x x 2 - 2 x - 3

Cara, toda vez que a integral apresentar uma “equação” do segundo grau em baixo, desconfie que pode ser um caso de frações parciais. Essa expressão pode ser fatorada completando quadrado...

∫ d x x 2 - 2 x - 3 = ∫ d x x + 1 x - 3

EPA! Um produto! De fato fração parcial! ☺

Passo 3

Em uma resolução por fração parcial, como você já sabe, buscamos separar a fração em outras. No caso, a função que vamos separar é...

1 x + 1 x - 3

Essa fração vamos tentar separar em duas...

1 x + 1 x - 3 = A x + 1 + B x - 3

No caso, o que precisamos fazer é encontrar esse A e B aí. Pra fazer, a gente tira M M C do denominador (lembrando que o M M C de coisas que a gente não conhece é uma multiplicação dos denominadores) e faz umas jogadas, olha só:

A x + 1 + B x - 3 = A x - 3 + B x + 1 x + 1 x - 3

Então...

1 x + 1 x - 3 = A x - 3 + B x + 1 x + 1 x - 3

Cortando o mesmo denominador dos dois lados...

1 = A x - 3 + B x + 1 →

1 = A x - 3 A + B x + B   →

1 = A + B x + B - 3 A

Por igualdade de polinômio, o lado direto tem que ser igual ao esquerdo, e pra isso acontecer...

A + B = 0

B - 3 A = 1

Isolando na de cima e substituindo na de baixo...

A = - B

B - 3 A = 1   →         B + 3 B = 1         →         4 B = 1

B = 1 4       e     A = - 1 4

Passo 4

Substituindo então, aquela fração chata e complicada vira duas simples...

1 x + 1 x - 3 = A x + 1 + B x - 3   →

1 x + 1 x - 3 = - 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3

Trocando na integral...

∫ d x x + 1 x - 3 = ∫ - 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x

Separando a integral...

∫ - 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = 1 4 ∫ 1 x - 3   d x - 1 4 ∫ 1 x + 1   d x

Agora é só resolver cada uma dessas integrais e correr para o abraço :D

Passo 5

∫ 1 x - 3   d x

Podemos realizar uma substituição simples...

x - 3 = a         →

d a = d x

Substituindo...

∫ 1 x - 3   d x = ∫ 1 a   d a

Já resolvemos essa integral...

∫ 1 a   d a = l n   a  

Trocando a novamente...

∫ 1 x - 3   d x = l n   x - 3  

Resolvendo a segunda integral ∫ 1 x + 1   d x ...

∫ 1 x + 1   d x = l n   x + 1  

Logo...

∫ - 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = 1 4 ∫ 1 x - 3   d x - 1 4 ∫ 1 x + 1   d x   →

∫ - 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = 1 4   l n   x - 3   - 1 4   l n   x + 1   + C →

∫ - 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = 1 4 l n   x - 3   - l n   x + 1   + C →

∫ - 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = 1 4 l n   x - 3 x + 1   + C

Resposta

1 4 l n   x - 3 x + 1   + C

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