1) Calcule as integrais.

d) ∫ x + 11 x 2 - 3 x - 4 d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Foi dada uma integral cuja função de integração é dada por x + 11 x 2 - 3 x - 4 .

∫ x + 11 x 2 - 3 x - 4 d x

Nosso objetivo é calcular o resultado dessa integral. Topa fazer comigo? 😁

Como podemos obter essa integral? 🤔🤔

Perceba que nossa função de integração é dada pela fração entre dois polinômios. Nesses casos, é muito comum usarmos a técnica de reescrever a função de integração a partir de suas frações parciais.

Bora seguir por esse caminho! 😉

Passo 2

Antes, temos que fatorar o polinômio do denominador x 2 - 3 x - 4 . Sabemos que temos algo parecido com x + a x + b , igualando os dois...

x 2 - 3 x - 4 = x + a x + b

Calculando a distributiva x + a x + b , temos

x 2 - 3 x - 4 = x 2 + b x + a x + a b

x 2 - 3 x - 4 = x 2 + a + b x + a b

Por igualdade de polinômios, vemos que a + b = - 3 e a b = - 4 , então quais são os valores de a e b dado que a soma resulta em - 3 e o produto em - 4 ?

Se a = 1 e b = - 4 , nosso problema é satisfeito, não é? Então

x 2 - 3 x - 4 = x + 1 x - 4

Substituindo na função de integração

x + 11 x 2 - 3 x - 4 = x + 11 x + 1 x - 4

Separando essa fração em frações parciais, temos

x + 11 x + 1 x - 4 = A x + 1 + B x - 4

Calculando o MMC do lado direito...

x + 11 x + 1 x - 4 = x - 4 A + x + 1 B x + 1 x - 4

Simplificando a igualdade

x + 11 = x - 4 A + x + 1 B

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Calculando a distributiva de A e B na equação, vamos obter

x + 11 = A x - 4 A + B x + B

x + 11 = A + B x - 4 A + B

Portanto, por igualdade de polinômios, vemos que

A + B = 1 - 4 A + B = 11

Isolando B na primeira equação

B = 1 - A

Substituindo na segunda equação...

- 4 A + 1 - A = 11

- 5 A = 10

A = - 2

Se A = - 2 , logo

- 2 + B = 1

B = 3

Com isso, descobrimos que podemos reescrever a função de integração dada no enunciado como

x + 11 x 2 - 3 x - 4 = - 2 x + 1 + 3 x - 4

Dessa forma, nossa integral pode ser reescrita como

∫ - 2 x + 1 + 3 x - 4 d x

Como a integral da soma é igual a soma das integrais...

∫ - 2 x + 1 d x + ∫ 3 x - 4 d x

Podemos tirar as constantes - 2 e 3 para fora da integral, resultando em

- 2 ∫ 1 x + 1 d x + 3 ∫ 1 x - 4 d x

Bacana, não é? 🤩

Passo 4

Só nos resta calcular essas integrais, não é?

Lembrando lá do teorema fundamental do cálculo, a integral de uma função do tipo 1 x + a resulta em ln ⁡ x + a , lembra disso? Portanto...

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1 + C

∫ 1 x - 4 d x = ln ⁡ x - 4 + C

Substituindo esses resultados, temos

∫ x + 11 x 2 - 3 x - 4 d x = - 2 ∫ 1 x + 1 d x + 3 ∫ 1 x - 4 d x

∫ x + 11 x 2 - 3 x - 4 d x = - 2 ln ⁡ x + 1 + C + 3 ln ⁡ x - 4 + C

Organizando um pouquinho...

∫ x + 11 x 2 - 3 x - 4 d x = - 2 ln ⁡ x + 1 + 3 ln ⁡ x - 4 + C

E assim chegamos no resultado da integral que tínhamos que calcular!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ x + 11 x 2 - 3 x - 4 d x = - 2 ln ⁡ x + 1 + 3 ln ⁡ x - 4 + C

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