2 . Qual das seguintes afirmações é verdadeira:

Escolha uma opção:

a . ∫ x - 1 x ( x - 2 ) ²   d x = ∫ A x + B x - 2 + C x - 2 d x , onde A , B e C são constantes a serem determinadas

b . ∫ 2 - x ²   d x = 2 ∫ c o s 2   t   d t , para t ∈ [ - π / 2 ; π / 2 ]

c . ∫ a b f g x g ' x d x = ∫ a b f u d u , onde u = g x

d . ∫ f x g x d x = ∫ f x d x ∫ g x d x

Passo 1

Para resolver esse exercício vamos tentar provar cada afirmação, uma por uma, até encontrar a verdadeira.

Pode ficar de boa que eu vou te explicar tudo bonitinho.

Passo 2

A afirmação é referente a frações parciais e já podemos notar um erro, pois ao invés do que está feito no enunciado a forma correta de fazer essas frações parciais é na forma:

∫ x - 1 x ( x - 2 ) ²   d x = ∫ A x + B x - 2 + C ( x - 2 ) ² d x

Então essa afirmação é falsa.

Passo 3

Nessa b teremos que trabalhar com substituição trigonométrica para ver se ela está certa.

Temos que:

∫ 2 - x 2   d x = 2 ∫ c o s 2   t   d t

Por substituição trigonométrica sabemos que x = 2   s e n ( t ) e d x = 2 cos ⁡ ( t ) d t , ou seja:

2 - x 2 = 2 - 2   s e n t 2 2 1 -   s e n 2 t = 2 c o s 2 ( t )

Sendo assim:

∫ 2 c o s 2 ( t ) ⋅   2 cos ⁡ ( t ) d t = ∫ 2 cos ⁡ ( t ) ⋅   2 cos ⁡ ( t ) d t = ∫ 2   c o s 2 ( t )   d t

Que é exatamente a igualdade que foi afirmada na letra b , então essa é a resposta correta!

Só pra deixar claro que as outras também estão erradas, na letra c nos é mostrado a substituição simples que é feita de forma correta, porém o erro está no limite de integração que depois da substituição também vai ser modificado.

E a letra d é falsa pois a integral do produto de duas funções não é dada pelo produto da integral de cada função, na verdade em situações assim nós devemos fazer uso da integração por partes para termos o resultado.

E é isso, assim finalizamos esse exercício!

Resposta

b . ∫ 2 - x ²   d x = 2 ∫ c o s 2   t   d t , para t ∈ [ - π / 2 ; π / 2 ]

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