Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Integração por Frações Parciais

Calcule as integrais abaixo. Justifique as respostas.

∫ x - 3 x 2 - 6 x - 16 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante C )!

Olhando para a integral, podemos ver que se trata de uma função racional, ou seja, uma divisão de polinômios. Por isso, vamos tentar o método de integração por frações parciais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∫ x - 3 x 2 - 6 x - 16 d x

1. Se o numerador tiver grau maior ou igual ao denominador, divida o numerador pelo denominador.

O grau do numerador ( 1 ) é menor do que o do denominador ( 2 ) .

2. Fatore o denominador para ele ficar na forma de um produto de termos.

Obs: Para saber se ele tem fatoração ou não, calcule as raízes do polinômio. No polinômio de segundo grau:

Δ = b 2 - 4 a c

r 1 = - b + Δ 2 a ; r 2 = - b - Δ 2 a

Se Δ < 0 , então não existe fatoração.

Se Δ = 0 , então a fatoração é x - r 2

Se Δ > 0 , então a fatoração é x - r 1 x - r 2

No nosso caso, as raízes são r 1 = - 2 e r 2 = 8 :

x - 3 x 2 - 6 x - 16 = x - 3 ( x + 2 ) ( x - 8 )

3. Desmembre a função racional em frações parciais com constantes nos numeradores.

x - 3 ( x + 2 ) ( x - 8 ) = A x + 2 + B x - 8

4. Faça o MMC, iguale os numeradores e agrupe as constantes.

x - 3 x + 2 x - 8 = A x - 8 + B x + 2 x + 2 x - 8

1 ⋅ x - 3 = A x - 8 A + B x + 2 B

1 ⋅ x - 3 = A + B x + ( - 8 A + 2 B )

Passo 3

5. Resolva o sistema para achar as constantes.

  A + B = 1                 → B = 1 - A         ( 1 ) - 8 A + 2 B = - 3                                                         ( 2 )

Usando 1 em 2 : - 8 A + 2 - 2 A = - 3 → - 10 A = - 5 → A = 1 2 → B = 1 2

6. Substitua as constantes e prepare para integrar.

∫ x - 3 x 2 - 6 x - 16 d x = 1 2 ∫ d x x + 2 + 1 2 ∫ d x x - 8

Passo 4

7. Calcular as integrais

= 1 2 ln ⁡ | x + 2 | + 1 2 ln ⁡ x - 8 + C = 1 2 ln ⁡ | x 2 - 6 x - 16 | + C

(Usamos que ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ ( a ⋅ b ) )

Obs: Essa questão também poderia ter sido respondida por substituição.

x - 3 = u

d x = d u

x 2 - 6 x - 16 = x - 3 2 - 25

x - 3 2 - 25 = u 2 - 25

Substituindo na integral:

∫ x - 3 x 2 - 6 x - 16 d x =   ∫ u d u u 2 - 25

Fazendo uma nova substituição:

u 2 - 25 = v

2 u d u = d v

Ficamos com:

∫ x - 3 x 2 - 6 x - 16 d x =   ∫ d v 2 v

1 2 ln ⁡ | v | =   1 2 ln ⁡ | x 2 - 6 x - 16 | + C

Resposta

∫ x - 3 x 2 - 6 x - 16 d x = 1 2 ln ⁡ | x 2 - 6 x - 16 | + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas