Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Um aluno escreveu na prova

∫ 2 x 2 - 2 x d x = 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + C

1. Sem calcular a integral, mostre que a resposta está errada.

2. Calcule a integral corretamente.

Passo 1

1. Ele quer que a gente prove que a função

F x = 2 ln ⁡ x 2 - 2 x

NÃO é a primitiva de

f x = 2 x 2 - 2 x

Ser primitiva significa que derivando F a gente chegaria em f . Então, o que a gente precisa provar é que

F ' x ≠ f ( x )

Vem!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos derivar F x :

F x = 2 ln ⁡ x 2 - 2 x

Usando a regra da cadeia, já que temos o log e uma função dentro do log. Aí a gente vai derivar a função de fora (o log) no ponto da função de dentro, e multiplicar isso pela derivada da função de dentro.

Aquele 2 a gente só repete, porque ele é uma constante:

F ' x = 2 d ln ⁡ x 2 - 2 x d x = 2 1 x 2 - 2 x 2 x - 2 = 4 x - 4 x 2 - 2 x

Percebe que isso é diferente de

f x = 2 x 2 - 2 x

Então provamos que o aluno errou ali, beleza?

Passo 3

2. Agora a gente tem que acertar!

Olha, temos uma divisão entre dois polinômios. Um NÃO é derivada do outro. Sabe o que essas coisas querem dizer? Vamos ter que usar frações parciais. Respira e vem comigo!

Para começar a usar frações parciais a gente precisa ter uma fração onde o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Isso já acontece ali

∫ 2 x 2 - 2 x d x

Vamos começar reescrevendo esse denominador como um produto de polinômios. Podemos começar isolando x :

x 2 - 2 x = x x - 2

Nossa integral fica assim

∫ 2 x ( x - 2 ) d x

Passo 4

Usar frações parciais é fazer esse integrando virar uma soma de funções tranquilas de integrar assim:

∫ 2 x x - 2 d x = ∫ A x + B x - 2 d x

Repara que a expressão acima de x é só A , porque ele é um termo de grau 1, e o mesmo acontece para x + 2 .

Vamos então descobrir A , B e C , igualando a fração antiga com a nossa nova soma de frações. Partindo daqui:

2 x x - 2 = A x + B x - 2

Passo 5

A gente multiplica esse termo A pelo denominador do outro termo. Aí faz o mesmo para B :

2 x x - 2 = A ( x - 2 ) x x - 2 + B x x x - 2

2 = A x - 2 + B x

Fazendo a distributiva:

2 = A x - 2 A + B x

Agora a gente faz um sisteminha. Temos o termo 2 sozinho (sem x ) do lado esquerdo, e do lado direito temos o 2 A . Podemos igualar esses dois caras:

2 = - 2 A ∴ A = 1 -

Fazendo o mesmo só para os termos multiplicados por x em cada lado. Na esquerda a gente não tem ninguém, então coloca 0 . E na direita tem A e B :

0 = A + B

Vimos que A = - 1 :

0 = - 1 + B ∴ B = 1

Como todas essas letrinhas achadas finalmente, a gente reescreve nossa integral:

∫ 2 x x - 2 d x = ∫ - 1 x + 1 x + 2 d x

Passo 6

Agora a gente resolve essa bonita:

∫ 2 x x - 2 d x = - ∫ 1 x d x + ∫ 1 x + 2 d x

Essa primeira integral tem primitivas direta.

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Falta só resolver essa integral bonita que ficou ali, né?

∫ 1 x - 2 d x

Fazendo a substituição u = x - 2 :

d u d x = 1 ∴ d u = d x

∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ x - 2

Substituindo nossos resultados:

∫ 2 x x - 2 d x = - ln ⁡ | x | + ln ⁡ x - 2 + C

Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!

Resposta

- ln ⁡ | x | + ln ⁡ x - 2 + C

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