Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

4b) Calcule as seguintes integrais:

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x

Passo 1

Eu sei eu sei, essa função parece bem complicada. Mas relaxa gafanhoto, que vamos tirar de letra. Da uma boa olhada no denominador:

sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6

Não parece um polinômio de funções de sin ⁡ x ? Bem, parece porque é! E já que temos um polinômio aí, porque não tentar uma substituição simples do tipo:

u = sin ⁡ x

Vamos ter então:

d u d x = cos ⁡ x

d x = d u cos ⁡ x

E podemos reescrever nossa integral para:

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x = ∫ cos ⁡ x u 2 - 5 u + 6   d u cos ⁡ x

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x = ∫ 1 u 2 - 5 u + 6   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show de bola. Ficamos com uma integral numa nova variável um pouco mais tranquila de resolver porque não tem função trigonométrica pra nos preocuparmos:

∫ 1 u 2 - 5 u + 6   d u

De novo, dá uma olhada no denominador: polinômio de segundo grau. Opa, então se usarmos fórmula de Bháskara:

u 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Poderemos reescrever o polinômio como:

u 2 - 5 u + 6 = a u 2 + b u + c = a u - u 1 u - u 2

Sendo:

a = 1 b = - 5 c = 6

Ficamos com:

u 1,2 = 5 ± 5 2 - 4 . 1.6 2 . 1 = 5 ± 25 - 24 2

u 1,2 = 5 ± 1 2 . 1 = 5 + 1 2 = 6 2 = 3 5 - 1 2 = 4 2 = 2

E logo, reescrevemos o polinômio para:

u 2 - 5 u + 6 = u - 2 u - 3

E a integral fica:

∫ 1 u 2 - 5 u + 6   d u = ∫ 1 u - 2 u - 3   d u

Passo 3

Beleza, mas e dái? Bem, reescrevendo a integral assim, conseguimos usar o Método das Frações Parciais. Logo, podemos fazer:

∫ 1 u - 2 u - 3   d u = ∫ A u - 2   d u + ∫ B u - 3   d u

Pra achar as constantes A e B , vamos olhar pro interior de cada uma das integrais acima:

1 u - 2 u - 3 = A u - 2 + B u - 3

Colocando tudo no mesmo denominador, temos:

1 u - 2 u - 3 = A u - 3 u - 2 u - 3 + B u - 2 u - 2 u - 3

Cortando os denominadores e fazendo a distributiva, ficamos com:

1 = A u - 3 + B u - 2

1 = A u - 3 A + B u - 2 B

0 u + 1 = A + B u + - 3 A - 2 B

Fazemos então um sistema de equações:

A + B = 0 - 3 A - 2 B = 1

Multiplicando a primeira linha por 2 e somando a segunda, temos:

2 A - 3 A + 2 N - 2 B = 0 + 1

- A = 1

A = - 1

E pronto! Achamos os valores das constantes! Com A substituído na primeira linha, achamos B e logo:

A = - 1 B = 1

Passo 4

E pra finalizar meeesmo, vamos juntar tudo que encontramos em cada um dos passos anteriores:

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x = ∫ 1 u 2 - 5 u + 6   d u

∫ 1 u 2 - 5 u + 6   d u = ∫ 1 u - 2 u - 3   d u

∫ 1 u - 2 u - 3   d u = ∫ A u - 2   d u + ∫ B u - 3   d u

A = - 1 B = 1

Ou seja, a nossa integral reescrita fica:

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x = - ∫ 1 u - 2   d u + ∫ 1 u - 3   d u

Como essas integrais tem resolução direta, ficamos com:

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x = - ln ⁡ u - 2 + ln ⁡ u - 3

E pra partir correndo pro abraço, voltando a variável original e adicionando a constante de integração, temos:

u = sin ⁡ x

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x = - ln ⁡ sin ⁡ x - 2 + ln ⁡ sin ⁡ x - 3 + C

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x = ln ⁡ sin ⁡ x - 3 sin ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x + 6   d x = ln ⁡ sin ⁡ x - 3 sin ⁡ x - 2 + C

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