Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule as seguintes integrais.

∫ 2 x + 1 x x - 2 x - 3 d x

Passo 1

Olha, temos uma divisão entre dois polinômios. Um NÂO é derivada do outro. E o denominador tem grau maior (já que 3 termos de x estão em produto, ele deve ter grau 3).

Sabe o que essas coisas querem dizer? Vamos ter que usar frações parciais. Respira e vem comigo!

Normalmente a gente tem que tentar reescrever esse denominador como produto de polinômios de grau 1. Mas ele já deixou assim! Então vamos só ser gratos e seguir hahaha

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aí a nossa integral tá assim: ∫ 2 x + 1 x x - 2 x - 3 d x

Usar frações parciais é fazer esse integrando virar uma soma de funções tranquilas de integrar assim:

∫ 2 x + 1 x x - 2 x - 3 d x = ∫ A x + B x - 2 + C x - 3 d x

Vamos então descobrir A ,   B e C . Partindo daqui:

2 x + 1 x x - 2 x - 3 = A x + B x - 2 + C x - 3

Passo 3

A gente multiplica esse termo A pelo denominador dos outros dois termos. Aí o faz o mesmo para B e C :

2 x + 1 x x - 2 x - 3 = A x - 2 x - 3 x x - 3 x - 2 + B x x - 3 x x - 3 x - 2 + C x x - 2 x x - 3 x - 2

2 x + 1 = A x - 2 x - 3 + B x x - 3 + C x x - 2

Fazendo a distributiva:

2 x + 1 = A x 2 - 5 A x + 6 A + B x 2 - 3 B x + C x 2 - 2 C x

Agora a gente faz um sisteminha. O único termo sozinho (sem x ) do lado esquerdo é o 1 e do lado direito é o 6 A . Podemos igualar esses dois caras:

1 = 6 A ∴ A = 1 6

Fazendo o mesmo só para os termos multiplicados por x em cada lado:

2 = - 5 A - 3 B - 2 C ∴ 2 = - 5 1 6 - 3 B - 2 C ∴ 17 6 = - 3 B - 2 C

E a gente vê que do lado esquerdo não tem termo elevado ao quadrado, então a gente diz que tem um 0 ⋅ x 2 do lado esquerdo. E do lado direito os termos multiplicado por x 2 são A ,   B e C :

0 = A + B + C ∴ - 1 6 = B + C

Aí a gente tem um sisteminha:

17 6 = - 3 B - 2 C - 1 6 = B + C

Vamos multiplicar a segunda equação por 3 e somar as duas:

17 6 = - 3 B - 2 C - 3 6 = 3 B + 3 C ∴ 14 6 = C ∴ C = 7 3

- 1 6 = B + C ∴ - 1 6 = B + 14 6 ∴ B = - 15 6 = - 5 2

Como todas essas letrinhas achadas finalmente, a gente reescreve nossa integral:

∫ 2 x + 1 x x - 2 x - 3 d x = ∫ ( 1 / 6 ) x + ( - 5 / 2 ) x - 2 + ( 7 / 3 ) x - 3 d x

Passo 4

Agora a gente resolve essa bonita:

∫ 2 x + 1 x x - 2 x - 3 d x = ∫ ( 1 / 6 ) x + ( - 5 / 2 ) x - 2 + ( 7 / 3 ) x - 3 d x

∫ 2 x + 1 x x - 2 x - 3 d x = 1 6 ∫ 1 x d x - 5 2 ∫ 1 x - 2 d x + 7 3 ∫ 1 x - 3 d x

= 1 6 ln ⁡ x - 5 2 ∫ 1 x - 2 d x + 7 3 ∫ 1 x - 3 d x

Resolvendo cada integral e depois somando.

∫ 1 x - 3 d x

Essa é a terceira. Fazendo a substituição u = x - 3 :

d u d x = 1 ∴ d u = d x

∫ 1 x - 3 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ x - 3

A segunda:

∫ 1 x - 2 d x

Fazendo a substituição u = x - 2 :

d u d x = 1 ∴ d u = d x

∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ x - 2

Substituindo nossos resultados:

∫ 2 x + 1 x x - 2 x - 3 d x = 1 6 ln ⁡ x - 5 2 ∫ 1 x - 2 d x + 7 3 ∫ 1 x - 3 d x

∫ x + 1 x x - 3 x - 2 d x = 1 6 ln ⁡ x - 5 2 ln ⁡ x - 2 + 7 3 ln ⁡ x - 3 + C

Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!

Resposta

1 6 ln ⁡ x - 5 2 ln ⁡ x - 2 + 7 3 ln ⁡ x - 3 + C

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