Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule as seguintes integrais.

∫ x + 1 x 3 - 5 x 2 + 6 x d x

Passo 1

Olha, temos uma divisão entre dois polinômios. Um NÃO é derivada do outro. E o numerador tem grau menor. Sabe o que essas coisas querem dizer? Vamos ter que usar frações parciais. Respira e vem comigo!

A primeira coisa é reescrever esse denominador como um produto de polinômios. Repara que a gente pode isolar o x ali para começar:

x 3 - 5 x 2 + 6 x = x x 2 - 5 x + 6

E a gente pode reescrever esse termo com grau 2 que ficou ali, usando uma fórmulinha:

x 2 - 5 x + 6 = a x - x 0 x - x 1

Onde a   é o termo multiplicado por x 2 , no nosso caso a = 1 . E x 0 e x 1 são as raízes do polinômio de grau 2:

x 2 - 5 x + 6 = 0

As achando por Bhaskara

Δ = 25 - 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 1

x = - - 5 ± 1 2 ⋅ 1 = 5 ± 1 2

x 0 = 3 ,     x 1 = 2

x 2 - 5 x + 6 = 1 x - 3 x - 2

Nosso denominador fica:

x 3 - 5 x 2 + 6 x = x x - 3 x - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aí a nossa integral fica assim: ∫ x + 1 x 3 - 5 x 2 + 6 x d x = ∫ x + 1 x x - 3 x - 2 d x

Usar frações parciais é fazer esse integrando virar uma soma de funções tranquilas de integrar assim:

∫ x + 1 x x - 3 x - 2 d x = ∫ A x + B x - 3 + C x - 2 d x

Vamos então descobrir A ,   B e C . Partindo daqui:

x + 1 x x - 3 x - 2 = A x + B x - 3 + C x - 2

Passo 3

A gente multiplica esse termo A pelo denominador dos outros dois termos. Aí o faz o mesmo para B e C :

x + 1 x x - 3 x - 2 = A x - 3 x - 2 x x - 3 x - 2 + B x x - 2 x x - 3 x - 2 + C x x - 3 x x - 3 x - 2

x + 1 = A x - 3 x - 2 + B x x - 2 + C x x - 3

Fazendo a distributiva:

x + 1 = A x 2 - 5 A x + 6 A + B x 2 - 2 B x + C x 2 - 3 C x

Agora a gente faz um sisteminha. O único termo sozinho (sem x ) do lado esquerdo é o 1 e do lado direito é o 6 A . Podemos igualar esses dois caras:

1 = 6 A ∴ A = 1 6

Fazendo o mesmo só para os termos multiplicados por x em cada lado:

1 = - 5 A - 2 B - 3 C ∴ 1 = - 5 1 6 - 2 B - 3 C ∴ 11 6 = - 2 B - 3 C

E a gente vê que do lado esquerdo não tem termo elevado ao quadrado, então a gente diz que tem um 0 ⋅ x 2 do lado esquerdo. E do lado direito os termos multiplicado por x 2 são A ,   B e C :

0 = A + B + C ∴ - 1 6 = B + C

Aí a gente tem um sisteminha:

11 6 = - 2 B - 3 C - 1 6 = B + C

Vamos multiplicar a segunda equação por 3 e somar as duas:

11 6 = - 2 B - 3 C - 3 6 = 3 B + 3 C ∴ 8 6 = B ∴ B = 4 3

- 1 6 = B + C ∴ - 1 6 = 4 3 + C ∴ C = - 3 2

Como todas essas letrinhas achadas finalmente, a gente reescreve nossa integral:

∫ x + 1 x x - 3 x - 2 d x = ∫ 1 / 6 x + 4 / 3 x - 3 + - 3 / 2 x - 2 d x

Passo 4

Agora a gente resolve essa bonita:

∫ x + 1 x x - 3 x - 2 d x = ∫ 1 / 6 x d x + ∫ 4 / 3 x - 3 d x + ∫ - 3 / 2 x - 2 d x

∫ x + 1 x x - 3 x - 2 d x = 1 6 ∫ 1 x d x + 4 3 ∫ 1 x - 3 d x - 3 2 ∫ 1 x - 2 d x

= 1 6 ln ⁡ x + 4 3 ∫ 1 x - 3 d x - 3 2 ∫ 1 x - 2 d x

Resolvendo cada integral e depois somando:

∫ 1 x - 3 d x

Fazendo a substituição u = x - 3 :

d u d x = 1 ∴ d u = d x

∫ 1 x - 3 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ x - 3

A terceira:

∫ 1 x - 2 d x

Fazendo a substituição u = x - 2 :

d u d x = 1 ∴ d u = d x

∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ x - 2

Substituindo nossos resultados:

∫ x + 1 x x - 3 x - 2 d x = 1 6 ln ⁡ x + 4 3 ∫ 1 x - 3 d x - 3 2 ∫ 1 x - 2 d x

∫ x + 1 x x - 3 x - 2 d x = 1 6 ln ⁡ x + 4 3 ln ⁡ x - 3 - 3 2 ln ⁡ x - 2 + C

Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!

Resposta

1 6 ln ⁡ x + 4 3 ln ⁡ x - 3 - 3 2 ln ⁡ x - 2 + C

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