Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule:

∫ 4 5 5 x - 13 x 2 - 5 x + 6 d x

Passo 1

Quociente de polinômios não tem erro: é frações parciais!

Primeiramente, vejamos se o polinômio do denominador tem raízes reais, assim veremos se dá fatorar ele:

x 2 - 5 x + 6 = 0

x = 5 ± 25 - 4.1 . 6 2 = 5 ± 1 2

⇒ x = 6 2 = 3     o u     x = 4 2 = 2

Beleza, então podemos escrever o polinômio assim:

x 2 - 5 x + 6 = x - 3 x - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Isso significa que, pelo método das frações parciais, temos:

5 x - 13 x 2 - 5 x + 6 = 5 x - 13 x - 3 x - 2 = A x - 3 + B x - 2

Botando tudo no mesmo denominador:

A x - 2 + B x - 3 x - 3 x - 2 = A x - 2 A + B x - 3 B x - 3 x - 2

= A + B x - 2 A - 3 B x 2 - 5 x + 6

Passo 3

Comparando:

5 x - 13 x 2 - 5 x + 6 = A + B x - 2 A - 3 B x 2 - 5 x + 6

Obtemos um sistema:

A + B = 5 - 2 A - 3 B = - 13

Multiplicando a primeira equação por 2, temos

2 A + 2 B = 10

Somando isso com a segunda:

2 A + 2 B - 2 A - 3 B = 10 - 13

- B = - 3

⇒ B = 3

E como A + B = 5 :

A = 5 - 3

⇒ A = 2

Ou seja:

5 x - 13 x 2 - 5 x + 6 = 2 x - 3 + 3 x - 2

Passo 4

Agora é só integrar:

∫ 4 5 5 x - 13 x 2 - 5 x + 6 d x = ∫ 4 5 2 x - 3 + 3 x - 2 d x

O que vai dar :

2 ln ⁡ x - 3 + 3 ln ⁡ x - 2 4 5 = 2 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 1 - 3 ln ⁡ 2

= - ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3

Passo 5

Pra simplificar a resposta, temos que lembrar das propriedades do logaritmo:

b ln ⁡ a = ln ⁡ a b

→ 3 ln ⁡ 3 = ln ⁡ 3 3 = ln ⁡ 27

Então a integral ficou

ln ⁡ 27 - ln ⁡ 2

Temos mais uma propriedade na manga:

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

→ ln ⁡ 27 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ 27 2

E aí está a resposta final! :)

Resposta

ln ⁡ 27 2

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