2 - Usando a técnica do exercício anterior calcule:

c) ∫ 0 π / 3 s e n 3 x c o s 2 x d x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Para essa questão não tem muito lero-lero, ela foi bem direta com a gente.

Temos que calcular a integral de s e n 3 x c o s 2 x pelos limites de integração de 0 a π / 3 .

O segredo está na técnica que vamos usar para calcular essa integral.

Esta técnica é na verdade uma propriedade da trigonometria que diz que podemos escrever o produto entre senos e cossenos como

s e n a c o s b = 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

Beleza! Mas se é a mesma coisa, qual a diferença entre usar um ou outro?? 🤔🤔

A diferença está na facilidade que vamos ter para calcular a integral.

A integral do produto entre seno e cosseno não é muito trivial, mas a integral do seno está na ponta da língua. Ou seja

s e n 3 x c o s 2 x = 1 2 s e n 3 x + 2 x + s e n 3 x - 2 x

Resolvendo a distributiva de 1 / 2 e as operações dentro dos senos, temos

s e n 3 x c o s 2 x = 1 2 s e n 5 x + 1 2 s e n x

Com isso a integral que antes era complicada, agora é

∫ 0 π / 3 s e n 3 x c o s 2 x d x = ∫ 0 π / 3 1 2 s e n 5 x d x + ∫ 0 π / 3 1 2 s e n x d x

Entendeu? Bora calcular essas integrais!

Passo 2

Primeiro calculamos a integral

∫ 0 π / 3 1 2 s e n 5 x d x

Primeiro calculamos a integral e depois substituímos o intervalo de integração

∫ 1 2 s e n 5 x d x

Podemos tirar a constante 1 / 2 para fora da integral

1 2 ∫ s e n 5 x d x

Nesses casos, quando temos uma função contida dentro de outra função, usamos o método de substituição u . d u . Onde substituímos a função contida dentro da outra por u e derivamos para encontrar d u . Por exemplo

Substituímos 5 x por u , então

d u d x = 5

Isolando d x em um lado da equação, temos

d x = 1 5 d u

Voltamos para a integral e substituímos 5 x por u e d x por 1 5 d u .

1 2 ∫ s e n u 1 5 d u

Podemos tirar a constante 1 / 5 para fora da integral.

1 2 · 1 5 ∫ s e n u d u

Como sabemos, a integral do s e n é igual a - c o s + C , ou seja

1 10 ∫ s e n u d u = - 1 10 cos ⁡ u + C

Por último, devolvemos a variável x substituindo u por 5 x .

∫ 1 2 s e n 5 x d x = - 1 10 cos ⁡ 5 x

Aplicando os limites de integração em x , temos

∫ 0 π / 3 1 2 s e n 5 x d x = - 1 10 cos ⁡ 5 x ​ x = 0 π 3

- 1 10 cos ⁡ 5 x ​ x = 0 π 3 = - 1 10 cos ⁡ 5 π 3 - - 1 10 cos ⁡ 0

cos ⁡ 0 = 1 e cos ⁡ 5 π 2 = 1 2 , substituindo esses valores, temos

∫ 0 π / 3 1 2 s e n 5 x d x = - 1 10 1 2 - - 1 10

∫ 0 π / 3 1 2 s e n 5 x d x = 1 20

Tranquilo até aqui?

Passo 3

A outra integral é dada como

∫ 0 π / 3 1 2 s e n x d x

Neste caso, não precisamos fazer a substituição u . d u , apenas tiramos a constante 1 / 2 para fora da integral e a calculamos 1 2 ∫ 0 π / 3 s e n x d x = - 1 2 cos ⁡ x x = 0 π 3

Aplicando os limites de integração em x , temos

- 1 2 cos ⁡ x x = 0 π 3 = - 1 2 cos ⁡ π 3 - - 1 2 cos ⁡ 0

cos ⁡ π 3 = 1 2 e cos ⁡ 0 = 1 , substituindo esses valores na equação acima, temos

∫ 0 π / 3 1 2 s e n x d x = - 1 2 1 2 - - 1 2

∫ 0 π / 3 1 2 s e n x d x = 1 4

Ta fácil?

Passo 4

Por fim, substituímos os valores que calculamos para cada integral onde

∫ 0 π / 3 s e n 3 x c o s 2 x d x = ∫ 0 π / 3 1 2 s e n 5 x d x + ∫ 0 π / 3 1 2 s e n x d x

∫ 0 π / 3 s e n 3 x c o s 2 x d x = 1 20 + 1 4

∫ 0 π / 3 s e n 3 x c o s 2 x d x = 3 10

Lembre-se da nossa receitinha quando temos que usar o método de substituição u . d u

1°: substituímos a função que está contida dentro da outra função por u .

2°: calculamos d u d x = d u d x e isolamos d x de um lado da igualdade.

3°: substituímos u e d u , calculamos a integral.

4°: depois da integral calculada, substituímos u pela função inicial.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 π / 3 s e n 3 x c o s 2 x d x = 3 10

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