Calcule as integrais:

f) ∫ 4 x x - 1 2 ( x + 1 ) d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral:

∫ 4 x x - 1 2 ( x + 1 ) d x

A primeira coisa que a gente pode pensar é em tentar usar substituição simples ou trigonométrica, mas nesse caso nenhuma delas ajuda a gente.

Repara que nós temos uma função em que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador. O que é o grau mesmo?

O grau de um polinômio é simplesmente o seu maior expoente, no nosso caso o denominador x - 1 2 x + 1 = x 3 - x 2 - x + 1 tem grau 3 . No nosso caso, ele já veio fatorado, o que já nos polpa trabalho.

Beleza, mas e daí? E daí que sempre que isso acontecer, a gente pode pensar em usar o método das Frações Parciais. Mas o que é esse método?

O método das Frações Parciais é um método dá pra gente “quebrar” uma fração que seja difícil de integrar, em duas ou mais frações mais simples de integrar.

No nosso caso, nós temos o denominador que tem fatores do primeiro grau, ( x + 1 ) e ( x - 1 ) e alguns deles se repetem. Como assim? Porque nós temos ( x - 1 ) duas vezes, percebe?

x - 1 2 = ( x - 1 ) ( x - 1 )

Mas porque eu tô falando isso?

Porque quando a gente tem algo assim, as nossas frações parciais vão ser desmembradas dessa forma:

4 x x - 1 2 ( x + 1 ) = A x + 1 + B x - 1 + C x - 1 2

Depois é só continha braçal. A gente vai colocar tudo no mesmo denominador e montar um sisteminha pra determinar A , B e C , e em seguida resolver nossa integral. Vamos lá!

Passo 2

Temos:

4 x x - 1 2 ( x + 1 ) = A x + 1 + B x - 1 + C x - 1 2

Tirando o M.M.C. do lado direito, colocamos os termos do segundo lado em um mesmo denominador:

A x + 1 + B x - 1 + C x - 1 2 = A x - 1 2 + B x - 1 x + 1 + C ( x + 1 ) x - 1 2 ( x + 1 )

Portanto, teremos que:

4 x x - 1 2 ( x + 1 ) = A x - 1 2 + B x - 1 x + 1 + C ( x + 1 ) x - 1 2 ( x + 1 )

Como nosso denominador é igual, podemos comparar os termos do numerador:

4 x = A x - 1 2 + B x - 1 x + 1 + C ( x + 1 )

Abrindo os produtos, temos:

4 x = A x 2 - 2 x + 1 + B x 2 + x - x - 1 + C ( x + 1 )

4 x = A x 2 - 2 A x + A + B x 2 - B + C x + C

Nós vamos igualar os coeficientes de todo mundo que multiplica x 2 , todo mundo que multiplica x e assim por diante:

→   0 = A x 2 + B x 2 4 x = - 2 A x + C x 0 = A - B + C →     A + B = 0 - 2 A + C = 4 A - B + C = 0

Da primeira equação do sistema, nós podemos tirar B = - A . Substituindo isso na terceira equação, temos:

A - - A + C = 0     →     2 A = - C     →   C = - 2 A

Substituindo C = - 2 A em - 2 A + C = 4 :

- 2 A - 2 A = 4

- 4 A = 4 → A = - 1

Como A = - 1 , então B = 1 e de C = - 2 A , temos:

C = - 2 - 1 → C = 2

Encontramos nossos coeficientes!

Passo 3

Agora podemos substituir A = - 1 , B = 1 e C = 2 em:

4 x x - 1 2 ( x + 1 ) = A x + 1 + B x - 1 + C x - 1 2

→         4 x x - 1 2 ( x + 1 ) = - 1 x + 1 + 1 x - 1 + 2 x - 1 2

E finalmente podemos integrar dos dois lados:

∫ 4 x x - 1 2 ( x + 1 ) d x = ∫ - 1 x + 1 + 1 x - 1 + 2 x - 1 2 d x

Como a integral da soma é a soma das integrais, podemos separar:

∫ 4 x x - 1 2 ( x + 1 ) d x = ∫ - 1 x + 1 d x ∫ 1 x - 1 d x ∫ 2 x - 1 2 d x

Agora vamos resolver cada integral do lado direito separadamente, pra gente não se perder nas continhas.

Passo 4

Vamos começar com:

∫ - 1 x + 1 d x

Podemos chamar:

u = x + 1

Derivando:

d u = 1 d x → d u = d x

Substituindo na integral, temos:

∫ - 1 u d u

Que sabemos resolver:

- ∫ 1 u d u = - ln ⁡ u + C 1

Voltando pra variável x que nós substituímos:

∫ - 1 x + 1 d x = - ln ⁡ x + 1 + C 1

Passo 5

Agora para ∫ 1 x - 1 d x , vamos fazer de maneira análoga ao passo 4 e chamar:

u = x - 1

Derivando:

d u = 1 d x → d u = d x

Substituindo na integral:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C 2

Voltando à variável x :

∫ 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - 1 + C 2

Passo 6

Pra nossa terceira e última integral, temos:

∫ 2 x - 1 2 d x

Vamos fazer por substituição também, chamando:

u = x - 1

Derivando:

d u = 1 d x → d u = d x

Substituindo na integral:

∫ 2 u 2 d u

Vamos escrever 1 u 2 = u - 2 pra gente visualizar melhor a integração:

∫ 2 u 2 d u = 2 ∫ u - 2 d u

Integrando:

2 u - 2 + 1 - 2 + 1 = 2 u - 1 - 1 = - 2 u

Agora podemos voltar à nossa variável x que a gente substituiu, e temos:

∫ 2 x - 1 2 d x = - 2 x - 1 + C 3

Passo 7

Agora, nós podemos finalmente juntar tudo na nossa integral original:

∫ 4 x x - 1 2 ( x + 1 ) d x = ∫ - 1 x + 1 d x ∫ 1 x - 1 d x ∫ 2 x - 1 2 d x

∫ 4 x x - 1 2 ( x + 1 ) d x = ln ⁡ x + 1 + C 1 + ln ⁡ x - 1 + C 2 - 2 x - 1 + C 3

Nós podemos juntar C 1 , C 2 e C 3 em uma única constante C :

∫ 4 x x - 1 2 ( x + 1 ) d x = - ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 1 - 2 x - 1 + C

E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

- ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 1 - 2 x - 1 + C

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