Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Obtenha uma primitiva G x (integral indefinida) para a função racional

f x = 2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 ,     x ≠ 0 ,

que satisfaz a condição G 1 = 0 .

Sugestão: Escreva f x na forma

A x + B x 2 + C x + D x 2 - 2 x + 2

Passo 1

Aqui a questão já deu de graça qual método usar: frações parciais.

Seguindo a sugestão, vamos escrever

2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 = A x + B x 2 + C x + D x 2 - 2 x + 2

Botando tudo no mesmo denominador, fica

A x x 2 - 2 x + 2 + B x 2 - 2 x + 2 + C x + D x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2

= A x 3 - 2 A x 2 + 2 A x + B x 2 - 2 B x + 2 B + C x 3 + D x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2

= A + C x 3 + B + D - 2 A x 2 + 2 A - 2 B x + 2 B x 2 x 2 - 2 x + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Igualando:

2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 = A + C x 3 + B + D - 2 A x 2 + 2 A - 2 B x + 2 B x 2 x 2 - 2 x + 2

Caímos num sistema:

A + C = 0 B + D - 2 A = - 1 2 A - 2 B = 2 2 B = 2

Pela última equação, temos B = 1 . Substituindo na 3ª:

2 A - 2 = 2

2 A = 4

⇒ A = 2

Assim, pela 1ª equação, temos C = - 2 .

E pra terminar, usamos a 2ª equação:

1 + D - 4 = - 1

⇒ D = - 1 - 1 + 4 = 2

Portanto, podemos escrever a função f x assim:

f x = 2 x + 1 x 2 + - 2 x + 2 x 2 - 2 x + 2

Passo 3

E nós queremos calcular a primitiva

G x = ∫ 2 x + 1 x 2 + - 2 x + 2 x 2 - 2 x + 2 d x

G x = 2 ∫ 1 x d x + ∫ 1 x 2 d x + ∫ - 2 x + 2 x 2 - 2 x + 2 d x

Passo 4

Vamos por etapas. Primeiramente:

2 ∫ 1 x d x = 2 ln ⁡ x

Vou deixar pra botar a constante de integração lá no fim da questão, beleza?

Passo 5

A segunda integral também é tranquila:

∫ 1 x 2 d x = ∫ x - 2 d x = x - 1 - 1 = - 1 x

Passo 6

A última vai ser um pouco mais trabalhosa:

∫ - 2 x + 2 x 2 - 2 x + 2 d x

Repara aqui comigo: o numerador tá com mó cara que é a derivada do denominador, não?

Vamos ver isso aí:

x 2 - 2 x + 2 ' = 2 x - 2 = - - 2 x + 2

Ah então na verdade o numerador é menos a derivada do denominador. De qualquer forma isso é excelente pra gente fazer uma substituição simples!

u = x 2 - 2 x + 2 → d u = 2 x - 2 d x

⇒ - 2 x + 2 d x = - d u

Então a integral vai ficar:

- ∫ 1 u d u = - ln ⁡ u = - ln ⁡ x 2 - 2 x + 2

Passo 7

Juntando as três integrais, e acrescentando a constante de integração:

∫ f x d x = G x = 2 ln ⁡ x - 1 x - ln ⁡ x 2 - 2 x + 2 + C

Se você quiser deixar a resposta mais limpa, dá pra aproveitar as propriedades do logaritmo

b ln ⁡ a = ln ⁡ a b

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Aí fica:

G x = ln ⁡ x 2 x 2 - 2 x + 2 - 1 x + C

E na verdade podemos até tirar esse módulo, porque o que está dentro do logaritmo é positivo:

x 2 > 0 ,     x ≠ 0

x 2 - 2 x + 2 = x - 1 2 + 1 > 0

Então

G x = ln ⁡ x 2 x 2 - 2 x + 2 - 1 x + C

Passo 8

Mas calma que ainda não acabou! A questão deu a condição

G 1 = 0

Ou seja:

ln ⁡ 1 2 1 2 - 2 . 1 + 2 - 1 1 + C = 0

ln ⁡ 1 - 1 + C = 0

Como ln ⁡ 1 = 0 , obtemos

C = 1

Pronto, agora sim acabou! A resposta final é

G x = ln ⁡ x 2 x 2 - 2 x + 2 - 1 x + 1

Resposta

G x = ln ⁡ x 2 x 2 - 2 x + 2 - 1 x + 1

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