Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule as integrais:

∫ 1 - x x 2 + 4 x + 3   d x

Passo 1

Bora lá. Como essa integral é uma razão de polinômios, ela tem tudo pra sair por frações parciais. Pra começar essa técnica, vamos aproveitar que o denominador é um polinômio do segundo grau e tacar Bháskara nele:

x 2 + 4 x + 3 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1 , 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores de a , b , c , temos:

x 1,2 = - 4 ± 16 - 4 ∙ 1 ∙ 3 2 = - 4 ± 16 - 12 2 = - 4 ± 4 2 = - 4 ± 2 2 = - 2 ± 1

As raízes serão:

x 1,2 = - 2 + 1 = - 1 - 2 - 1 = - 3

E logo:

x 2 + 4 x + 3 = x + 1 x + 3

A integral pode ser rescrita como:

∫ 1 - x x 2 + 4 x + 3   d x = ∫ 1 - x x + 1 x + 3   d x

Show de bola galera, agora podemos expandir em frações parciais! Reescrevemos de novo a integral para:

∫ 1 - x x + 1 x + 3   d x = ∫ A x + 1 + B x + 3   d x = ∫ A x + 1   d x + ∫ B x + 3   d x

Onde as duas integrais que sobrarem são d resolução direta! O resultado dessa doidera toda será:

∫ 1 - x x 2 + 4 x + 3   d x = A ln ⁡ x + 1 + B ln ⁡ x + 3 + C

Onde A , B são constantes que vamos determinar jajá, e C a nossa querida e amada constante de integração que não podemos esquecer nunca.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Maravilha, vamos determinar esses coeficientes. Pra isso, vamos começar com essa igualdade:

1 - x x + 1 x + 3 = A x + 1 + B x + 3

Se colocarmos tudo no mesmo denominador e aplicarmos a distributiva pras constantes, teremos:

1 - x x + 1 x + 3 = A x + 3 x + 1 x + 3 + B x + 1 x + 1 x + 3

1 - x x + 1 x + 3 = A x + 3 A x + 1 x + 3 + B x + B x + 1 x + 3

Agora bora eliminar esse denominador pra não nos enrolarmos e agrupar os termos em comum dos dois lados. Olha só como fica:

1 - x = A x + 3 A + B x + B

- 1 x + 1 = A + B x + 3 A + B

Dai da pra montar um sistema de equações que salva a gente, da uma olhada:

A + B = - 1 3 A + B = 1

Subtraindo da primeira equação a segunda, temos:

- 2 A = - 2

A = 1

E logo B = - 2 . Fechamos! Faltava só determinar esses caras! A resposta será:

∫ 1 - x x 2 + 4 x + 3   d x = A ln ⁡ x + 1 + B ln ⁡ x + 3 + C

∫ 1 - x x 2 + 4 x + 3   d x = ln ⁡ x + 1 - 2 ln ⁡ x + 3 + C

Resposta

∫ 1 - x x 2 + 4 x + 3   d x = ln ⁡ x + 1 - 2 ln ⁡ x + 3 + C

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