Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule

∫ sen ⁡ 2 x ( sen ⁡ x - 1 ) ( sen ⁡ x - 3 ) d x

Passo 1

Antes de pensar qual das técnicas de integração vamos usar, vamos observar e ver se algo pode ser simplificado ou escrito de outra forma. No numerador temos sen ⁡ 2 x , que pode ser escrito assim:

sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Assim, a integral pode ser reescrita como

∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x ( sen ⁡ x - 1 ) ( sen ⁡ x - 3 ) d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A próxima etapa é fazer a seguinte substituição:

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x d x

∫ 2 u ( u - 1 ) ( u - 3 ) d u

Passo 3

Perceba que se fizéssemos a distributiva no denominador teríamos um termo u ² . Assim, o termo do numerador seria de menor grau que o do denominador. Lembra qual técnica usar nesse caso? Isso aí, frações parciais!

2 u ( u - 1 ) ( u - 3 ) =

A u - 1 + B u - 3 =

A u - 3 + B ( u - 1 ) ( u - 1 ) ( u - 3 ) =

A u - 3 A + B u - B ( u - 1 ) ( u - 3 ) =

( A + B ) u - 3 A - B ( u - 1 ) ( u - 3 )

Comparando com a fração da integral, temos:

2 u = ( A + B ) u - 3 A - B

Assim:

A + B = 2 - 3 A - B = 0 ⇒ A = - 1 B = 3

Então

2 u ( u - 1 ) ( u - 3 ) = - 1 u - 1 + 3 u - 3

Passo 4

Usando isso para calcular a integral:

∫ 2 u ( u - 1 ) ( u - 3 ) d u = ∫ - 1 u - 1 + 3 u - 3 d u = - ln ⁡ u - 1 + 3 ln ⁡ u - 3 + C

Pra finalizar, só falta voltar pra variável x . Lembre-se que

u = sen ⁡ x

Por isso

- ln ⁡ u - 1 + 3 ln ⁡ u - 3 + C = - ln ⁡ sen ⁡ x - 1 + 3 ln ⁡ sen ⁡ x - 3 + C

Resposta

= - ln ⁡ sen ⁡ x - 1 + 3 ln ⁡ sen ⁡ x - 3 + C

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