Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Integração por Frações Parciais

Resolva as integrais indefinidas abaixo:

∫ 5   e 2 x ( e 2 x + 1 ) ( 2 e x + 1 ) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante C )!

Olhando para a integral, vemos termos do tipo e x e do tipo e 2 x = e x 2 .

É interessante eliminar esses termos através de uma substituição para simplificarmos a integral. Sabemos que a derivada de e x é o próprio e x . Portanto, podemos fazer a substituição.

Ao fazê-la, vamos cair em uma função racional. Daí, poderemos tentar o método de integração por frações parciais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∫ 5 e 2 x ( e 2 x + 1 ) ( 2 e x + 1 ) d x

Vamos começar tentando a seguinte substituição:

u = e x → d u = e x d x

A primeira coisa importante a ver é que nessa integral temos que separar e x do numerador para ter junto ao d x

∫ 5 e x ( e 2 x + 1 ) ( 2 e x + 1 ) e x d x

Aplicando:

∫ 5 u ( u 2 + 1 ) ( 2 u + 1 ) d u

Passo 3

Vamos, agora, seguir o passo a passo da integração por frações parciais:

1. Se o numerador tiver grau maior ou igual ao denominador, divida o numerador pelo denominador.

O grau do numerador ( 1 ) é menor do que o grau do denominador ( 3 ) .

2. Fatore o denominador para ele ficar na forma de um produto de termos.

5 u ( u 2 + 1 ) ( 2 u + 1 )

Ele já está na forma ideal.

3. Desmembre a função racional em frações parciais com constantes nos numeradores.

5 u ( u 2 + 1 ) ( 2 u + 1 ) = A u + B u 2 + 1 + C 2 u + 1

4. Faça o MMC, iguale os numeradores e agrupe as constantes.

5 u ( u 2 + 1 ) ( 2 u + 1 ) = A u + B 2 u + 1 + C ( u 2 + 1 ) ( u 2 + 1 ) ( 2 u + 1 )

5 u = 2 A u 2 + A u + 2 B u + B + C u 2 + C

0 ⋅ u 2 + 5 ⋅ u + 0 = 2 A + C u 2 + A + 2 B u + ( B + C )

Passo 4

5. Resolva o sistema para achar as constantes.

2 A + C = 0         ( 1 )   A + 2 B = 5         ( 2 )       B + C = 0         3

De 3 : B = - C

Substituindo em 2 :

A - 2 C = 5 → A = 5 + 2 C

E voltando em 1 :

2 5 + 2 C + C = 0 → 10 + 4 C + C = 0 → C = - 2

Assim

A = 1 ; B = 2 ; C = - 2

6. Substitua as constantes e prepare para integrar.

∫ 5 u u 2 + 1 2 u + 1 d u = ∫ u + 2 u 2 + 1 d u - 2 ∫ d u 2 u + 1 =

= ∫ u u 2 + 1 d u + 2 ∫ d u u 2 + 1 - 2 ∫ d u 2 u + 1

Passo 5

7. Calcular as integrais

∫ u u 2 + 1 d u + 2 ∫ d u u 2 + 1 - 2 ∫ d u 2 u + 1

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadas, primeiro

∫ u u 2 + 1 d u

Vamos fazer a seguinte substituição:

t = u 2 + 1 → d t = 2 u   d u → u   d u = 1 2 d t

∫ u u 2 + 1 d u = ∫ 1 u 2 + 1 u d u = ∫ 1 t d t 2

Temos

1 2 ∫ d t t

Dica: A derivada do ln é importante para calcularmos algumas integrais provenientes de frações parciais.

d d x ln ⁡ x = 1 x → ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Resolvendo essa integral

1 2 ∫ d t t = 1 2 ln ⁡ t

Voltando para u

1 2 ln ⁡ t = 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + C

Passo 6

Vamos para a segunda integral

2 ∫ d u u 2 + 1

Dica: A derivada do arctan é importante para calcularmos algumas integrais provenientes de frações parciais.

d d x arctg ⁡ x = 1 1 + x 2 → ∫ 1 1 + x 2 d x = arctg ⁡ x + C

Voltando:

2 ∫ d u u 2 + 1 = 2 arctg ⁡ u + C

Passo 7

Vamos para a última integral

- 2 ∫ d u 2 u + 1

Vamos fazer a substituição

2 u + 1 = t → d t = 2 d u → d u = 1 2 d t

Substituindo na integral

- 2 ∫ d u 2 u + 1 = - 2 ∫ 1 t 1 2 d t = - ∫ d t t

Resolvendo a integral

- ∫ d t t = - ln ⁡ t + C

Voltando para u

- ln ⁡ t + C = - ln ⁡ 2 u + 1 + C

Passo 8

Vamos voltar aquela soma de integrais

= 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + C + 2 arctg ⁡ u + C - ln ⁡ 2 u + 1 + C =

Podemos juntar essas constantes em uma só

= 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + 2 arctg ⁡ u - ln ⁡ 2 u + 1 + C

Voltando para a variável em x :

u = e x

= 1 2 ln ⁡ | e 2 x + 1 | + 2 arctg ⁡ e x - ln ⁡ 2 e x + 1 + C

Com C ∈ R (sempre é bom escrever isso).

Resposta

∫ 5 e 2 x ( e 2 x + 1 ) ( 2 e x + 1 ) d x = 1 2 ln ⁡ | e 2 x + 1 | + 2 arctg ⁡ e x - ln ⁡ 2 e x + 1 + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas