Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

b) Calcule:

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x

Passo 1

A primeira coisa a se fazer pra calcular essa integral é olhar bem pro fundo dos olhos dela e perguntar: o que é você? Bem, se ela não mentiu pra você, ela vai dizer: sou um polinômio dividido por outro um grau superior! Opa, então isso da uma ideia: frações parciais! Veja só:

∫ a b x + c d x = a b ln ⁡ b x + c

Então vamos tentar reescrever a integral do enunciado como uma soma de integrais como a acima, que aí a resolução sai direto, beleza? Bora lá:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O truque vai ser olhar pro denominador. Saca só:

x 3 - x

Pô, esses dois termos tem um x em comum! Colocando em evidência então:

x 3 - x = x x 2 - 1

E olha só, outra coisa interessante apareceu: uma diferença de quadrados! Usando produto notável, ficamos então com:

x 3 - x = x x 2 - 1 = x x - 1 x + 1

E a integral vira:

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x = ∫ x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 d x

Pelo método das frações parciais, podemos separar essa integral em três então:

∫ x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 d x = ∫ A x d x + ∫ B x - 1 d x + ∫ C x + 1 d x

Como a resolução é direta, vamos ter então:

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x = A ln ⁡ x + B ln ⁡ x - 1 + C ln ⁡ x + 1

O truque então vai ser achar quem são as constantes A , B , C .

Passo 3

Pra achar as constantes, vamos esquecer a integral um pouco e ver a função dentro dela só:

x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 = A x + B x - 1 + C x + 1

Bora por tudo no mesmo denominador pra podermos cortar ele. Vamos ter:

x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 = A x - 1 x + 1 x x - 1 x + 1 + B x x + 1 x x - 1 x + 1 + C x x - 1 x x - 1 x + 1

Tirando o denominador então:

x 2 + 2 x - 1 = A x - 1 x + 1 + B x x + 1 + C x x - 1

E fazendo a distributiva:

x 2 + 2 x - 1 = A x 2 - 1 + B x 2 + x + C x 2 - x

x 2 + 2 x - 1 = A x 2 - A + B x 2 + B x + C x 2 - C x

1 x 2 + 2 x + - 1 = A + B + C x 2 + B - C x + - A

Igualando os termos em colchetes:

A + B + C = 1 B - C = 2 - A = - 1

Resolvendo o sistema de equações:

A = 1 B = 1 C = - 1

E fechou! O resultado da integral vai ser:

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x = A ln ⁡ x + B ln ⁡ x - 1 + C ln ⁡ x + 1

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x = ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + 1

Mas não se esqueça de por a constante de integração em!

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x = ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x = ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + 1 + C

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