1.4 Seja F x uma função tal que F 4 = ln ⁡ 20 e F ' x = 3 x - 1 x 2 - 2 x - 3 ,   x > 3 . Determine o valor de F 7 .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Embora esteja camuflada, esta é uma questão de integral. Mas relaxa que vamos desbravar ela.

O problema pede para a gente calcular o valor de uma uma função em um determinado ponto

F 7 = ?

E nós não sabemos quem é essa função. Mas sabemos a derivada dela,

F ' x = 3 x - 1 x 2 - 2 x - 3

Opaaa! Para quem não lembra, o “contrario” da derivada é a integral. Então integrando a nossa derivada, encontramos a nossa F x . Temos isso aqui:

F x = ∫ F ' x d x

Bora lá!

Passo 2

A nossa integral para encontrar a F x fica assim:

F x = ∫ 3 x - 1 x 2 - 2 x - 3 d x

Repara que temos um grau maior no numerador do que no denominador. Além disso, fatorando o nosso denominador, podemos escrevê-lo assim:

F x = ∫ 3 x - 1 x + 1 x - 3 d x

Opaaa! Esses dois sinais é um indicativo que para resolver essa integral, podemos utilizar o método de frações parciais.

Passo 3

Para resolver uma integral por frações parciais, a gente começa escrevendo a função como um somatório de frações

3 x - 1 x + 1 x - 3 = A x + 1 + B x - 3

Agora precisamos encontrar quem é A e B . Então vamos somar essas frações e comparar com a equação original,

A x + 1 + B x - 3 = A x - 3 + B x + 1 x + 1 x - 3 = x A + B + ( - 3 A + B ) x + 1 x - 3

Comparando com a equação original,

3 x - 1 x + 1 x - 3 = x A + B + ( - 3 A + B ) x + 1 x - 3

Podemos separar os termos que acompanham x do que está isolados e montar o seguinte sistema

3 = A + B - 1 = - 3 A + B

Resolvendo o sistema ficamos com A = 1 e B = 2 .

Opaaa! Agora temos que

3 x - 1 x + 1 x - 3 = 1 x + 1 + 2 x - 3

Vamos reescrever a nossa integral!

Passo 4

Tinhamos a seguinte integral,

F x = ∫ 3 x - 1 x + 1 x - 3 d x = ∫ 1 x + 1 + 2 x - 3 d x

Para facilitar o nosso calculo, vamos separar em duas integrais

F x = ∫ 3 x - 1 x + 1 x - 3 d x = ∫ 1 x + 1 d x + ∫ 2 x - 3 d x

A gente consegue resolver cada integral dessas por substituição simples e chegaremos a este resultado:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ | x + 1 | + C 1

∫ 2 x - 3 d x = 2 ln ⁡ | x - 3 | + C 2

Logo,

F x = ∫ 3 x - 1 x + 1 x - 3 d x = ln ⁡ | x + 1 | + 2 ln ⁡ | x - 3 | + C

Onde, C = C 1 + C 2 que é a nossa constante de integração. E para achar o nosso F 7 precisamos saber quem é C .

Passo 5

Para encontrar C , vamos usar essa informação dada pelo enunciado

F 4 = ln ⁡ 20

Logo,

F 4 = ln ⁡ 4 + 1 + 2 ln ⁡ 4 - 3 + C = ln ⁡ 20

Isolando C ,

C = ln ⁡ 20 - ln ⁡ 5

Sendo ln ⁡ 20 = ln ⁡ 5 + ln ⁡ 4 , com isso,

C = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 4 - ln ⁡ 5 = ln ⁡ 4 = 2 ln ⁡ 2

Opaa! Já sabemos quem é F x .

Passo 6

Nossa F x ficou assim,

F x = ln ⁡ | x + 1 | + 2 ln ⁡ | x - 3 | + 2 ln ⁡ 2

Logo,

F 7 = ln ⁡ | 7 + 1 | + 2 ln ⁡ | 7 - 3 | + 2 ln ⁡ 2

F 7 = ln ⁡ 8 + 2 ln ⁡ 4 + 2 ln ⁡ 2

F 7 = 3 ln ⁡ 2 + 4 ln ⁡ 2 + 2 ln ⁡ 2

F 7 = 9 ln ⁡ 2

Fim!

Resposta

9 ln ⁡ 2

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