Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Q03b) Calcule a integral abaixo:

∫ 1 x 2 + x - 6 d x

Passo 1

Bora lá. Temos aqui uma integral de uma divisão de polinômios (o 1 seria um polinômio de grau 0 ). Geralmente quando é assim, é uma boa ideia a gente tentar fazer Integral por Frações Parciais. Como o denominador é um polinômio de segundo grau, seja:

x 2 + x - 6 = a x 2 + b x + c

Onde:

a = 1 b = 1 c = - 6

Segundo a fórmula de Bháskara podemos escrever:

x 2 + x - 6 = a x - x 1 x - x 2

Onde x 1 , 2 são as raízes do polinômio, encontradas pela fórmula:

x 1 , 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Achando as raízes então, temos:

x 1,2 = - 1 ± 1 2 - 4 . 1 . - 6 2 . 1

x 1,2 = - 1 ± 1 + 24 2 = - 1 ± 25 2 = - 1 ± 5 2

→   x 1 = - 1 + 5 2 = 4 2 = 2 x 2 = - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

O polinômio é então:

x 2 + x - 6 = x - 2 x + 3

E a integral se transforma em:

∫ 1 x 2 + x - 6 d x = ∫ 1 x - 2 x + 3 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que escrevemos a integral numa forma compatível com as frações parciais, bora montar elas. O interior da integral pode ser reescrita para:

1 x - 2 x + 3 = A x - 2 + B x + 3

Pra saber quem é A e quem é B basta a gente por tudo no mesmo denominador, bora lá:

1 x - 2 x + 3 = A x + 3 x - 2 x + 3 + B x - 2 x + 3 x - 2

1 x - 2 x + 3 = A x + 3 A x - 2 x + 3 + B x - 2 B x + 3 x - 2

Cortando o denominador:

A x + 3 A + B x - 2 B = 1

E colocando os termos em comum em evidência:

A + B x + 3 A - 2 B = 0 x + 1

Igualando os termos temos o sistema de equações:

A + B = 0 3 A - 2 B = 1

Resolvendo o sistema ficamos com:

A = - B

3 A - 2 B = 1 →   - 3 B - 2 B = 1 →   - 5 B = 1 → B = - 1 5 A = 1 5

No final das contas, ficamos com:

1 x - 2 x + 3 = A x - 2 + B x + 3

1 x - 2 x + 3 = 1 5 x - 2 - 1 5 x + 3

E a integral fica:

∫ 1 x 2 + x - 6 d x = ∫ 1 x - 2 x + 3 d x = ∫ 1 5 x - 2 d x - ∫ 1 5 x + 3 d x

Passo 3

Fechamos as contas, agora é bem direto ao ponto, viu? As integrais vão ficar:

∫ 1 x 2 + x - 6 d x = ∫ 1 5 x - 2 d x - ∫ 1 5 x + 3 d x

∫ 1 x 2 + x - 6 d x = 1 5 ln ⁡ x - 2 - 1 5 ln ⁡ x + 3

O que dá:

∫ 1 x 2 + x - 6 d x = 1 5 ln ⁡ x - 2 - ln ⁡ x + 3 + C

Ou se você quiser, pode escrever ainda dessa forma:

∫ 1 x 2 + x - 6 d x = ln ⁡ x - 2 x + 3 5 + C

Resposta

∫ 1 x 2 + x - 6 d x = 1 5 ln ⁡ x - 2 - ln ⁡ x + 3 + C

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