2 - Usando a técnica do exercício anterior calcule:

b) ∫ s e n x c o s 6 x d x .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa questão foi bem direta com a gente, temos que calcular a integral de s e n x c o s 6 x usando uma propriedade de trigonometria.

Essa propriedade nos diz o seguinte: quando temos um produto entre s e n e c o s , podemos escreve-la como

s e n a c o s b = 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

Mas você pode pensar: “se é a mesma coisa, pra que fazemos isso??” 🤔🤔

Lembre-se que temos que calcular a integral de s e n x c o s 6 x , ou seja

∫ s e n x c o s 6 x d x

Se substituirmos por essa propriedade, temos

s e n x c o s 6 x = 1 / 2 s e n x + 6 x + s e n x - 6 x

Fazendo a distributiva e as operações no seno e cosseno temos

s e n x c o s 6 x = 1 2 s e n 7 x + 1 2 s e n - 5 x

Com isso essa propriedade nos ajuda muito, já que

∫ s e n x c o s 6 x d x = ∫ 1 2 s e n 7 x d x + ∫ 1 2 s e n - 5 x d x

E as integrais de seno e cosseno são conhecidas entre nós.

Tranquilo? Bora calcular!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral

∫ 1 2 s e n 7 x d x

A constante 1 / 2 pode sair da integral, com isso temos

1 2 ∫ s e n 7 x d x

Quando temos uma função contida em outra, usamos o método de substituição u . d u este método consiste em substituir u pela função interna e calcular sua derivada d u , veja só

Nesse caso u = 7 x , logo

d u d x = 7

Isolando d x em um lado da equação, temos

d x = d u 7

Agora substituímos 7 x por u e d x por d u / 7 .

1 2 ∫ s e n u d u 7

Tirando o 1 / 7 para fora da integral, temos

1 2 · 1 7 ∫ s e n u d u

Sabemos que a integral do s e n é igual a - c o s mais a constante de integração, ou seja

1 14 ∫ s e n u d u = - 1 14 cos ⁡ u + C

Por último, substituímos u por 7 x de volta, assim, temos

∫ 1 2 s e n 7 x d x = - 1 14 cos ⁡ 7 x + C

Bacana, não é?

Passo 3

O próximo passo é calcular a integral

∫ 1 2 s e n - 5 x d x

Observe que temos um caso muito parecido com o anterior, então vamos seguir praticamente os mesmos passos

Tiramos 1 / 2 pra fora da integral e consideramos u = - 5 x . Calculando d u , temos

d u d x = - 5

Isolando d x em um lado da igualdade

d x = - d u 5

Substituindo - 5 x por u e d x por - d u / 5 , temos

1 2 ∫ - s e n u d u 5

Podemos tirar o - 1 / 5 para fora da integral

1 2 · - 1 5 ∫ s e n u d u

Como vimos antes, a integral de s e n é igual a - c o s mais a constante de integração

1 2 · - 1 5 ∫ s e n u d u = - 1 10 - cos ⁡ u + C

Organizando o resultado e substituindo u por - 5 x novamente, temos

∫ 1 2 s e n - 5 x d x = 1 10 cos ⁡ - 5 x + C

Algum estresse?

Passo 4

Substituindo os resultados da integral inicial onde

∫ s e n x c o s 6 x d x = ∫ 1 2 s e n 7 x d x + ∫ 1 2 s e n - 5 x d x

Temos

∫ s e n x c o s 6 x d x = - 1 14 cos ⁡ 7 x + 1 10 cos ⁡ - 5 x + C

Lembre-se da nossa receitinha quando temos que usar o método de substituição u . d u

1°: substituímos a função que está contida dentro da outra função por u .

2°: calculamos d u d x = d u d x e isolamos d x de um lado da igualdade.

3°: substituímos u e d u , calculamos a integral.

4°: depois da integral calculada, substituímos u pela função inicial.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ s e n x c o s 6 x d x = - 1 14 cos ⁡ 7 x + 1 10 cos ⁡ - 5 x + C

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