Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

4a) Calcule as seguintes primitivas/integrais definidas:

∫ 1 z 2 - 2 z d z

Passo 1

Vamos olhar bem pra essa integral: temos um polinômio de grau 0 e um de segundo grau no denominador. Geralmente quando temos divisão de polinômios, uma boa estratégia é a gente tentar integração por frações parciais. E olha só, podemos por um z em evidência!

∫ 1 z 2 - 2 z d z = ∫ 1 z z - 2 d z

Opa, isso já adianta nossa vida! Isso signficia que podemos reescrever a função no interior da integral para:

1 z z - 2 = A z + B z - 2

Onde A , B são números a determinar. A integral vai ficar então:

∫ 1 z z - 2 d z = ∫ A z + B z - 2 d z = ∫ A z d z + ∫ B z - 2 d z

E olha só, no final das contas ficamos com:

∫ 1 z 2 - 2 z d z = ∫ A z d z + ∫ B z - 2 d z

Que são duas integrais com resolução direta! A resposta vai ser:

∫ 1 z 2 - 2 z d z = A ln ⁡ z + B ln ⁡ z - 2 + C

Falta só determinar essas constantes então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra acharmos A , B , bora partir daqui:

1 z z - 2 = A z + B z - 2

Se colocarmos os dois lados no mesmo denominador, vamos ter:

1 z z - 2 = A z - 2 z z - 2 + B z z z - 2

E aplicando a distributiva e cortando o denominador de todos os termos, ficamos com

1 = A z - 2 A + B z

Agrupando os termos em comum, essa igualdade é equivalente a essa aqui ó:

0 z + 1 = A + B z + - 2 A

Sendo assim, podemos montar o sistema:

A + B = 0 - 2 A = 1

O que nos faz concluir que:

A = - 1 2 B = 1 2

Agora que encontramos é só substituir na resposta do passo anterior:

∫ 1 z 2 - 2 z d z = A ln ⁡ z + B ln ⁡ z - 2 + C

∫ 1 z 2 - 2 z d z = - 1 2 ln ⁡ z + 1 2 ln ⁡ z - 2 + C

∫ 1 z 2 - 2 z d z = 1 2 ln ⁡ z - 2 - ln ⁡ z + C

O que também pode ser escrito como:

∫ 1 z 2 - 2 z d z = 1 2 ln ⁡ z - 2 z + C

Resposta

∫ 1 z 2 - 2 z d z = 1 2 ln ⁡ z - 2 - ln ⁡ z + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas