Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Integração por Frações Parciais

Calcule a integral:

∫ x 3 + 2 x 2 - 5 x d x

Passo 1

Nesse caso, o método de integração mais indicado é o método por frações parciais! Só que lembrem que esse método só pode ser utilizado quando o GRAU do polinômio do numerador for MENOR do que o GRAU do polinômio do denominador!! Então vamos fazer isso acontecer! Vamso começar dividindo os polinômios, vamos usar aquele macetinho que vimos na teoria.

Primeiro temos que dividir x 3 por x 2

x 3 x 2 = x

Ai multiplicamos pelo denominador

x x 2 - 5 x

E fazer no numerador menos isso

x 3 + 2 - x x 2 - 5 x = x 3 + 2 - x 3 + 5 x 2 = 5 x 2 + 2

Agora vamos ter

x 3 + 2 x 2 - 5 x = x + 5 x 2 + 2 x 2 - 5 x

Como os graus do polinômios da fração continuam iguais, temos que fazer essa macetada toda de novo.

Primeiro temos que dividir 5 x 2 por x 2

5 x 2 x 2 = 5

Ai multiplicamos pelo denominador

5 x 2 - 5 x

E fazer no numerador menos isso

5 x 2 + 2 - 5 x 2 - 5 x = 5 x 2 + 2 - 5 x 2 + 25 x = 2 5 x + 2

Agora vamos ter

5 x 2 + 2 x 2 - 5 x = 5 + 25 x + 2 x 2 - 5 x

E juntando isso na parte de cima

x 3 + 2 x 2 - 5 x = x + 5 + 25 x + 2 x 2 - 5 x

E então nossa integral vai ficar da seguinte maneira:

∫ x 3 + 2 x 2 - 5 x d x = ∫ x   d x + 5 ∫ d x + ∫ 25 x + 2 x 2 - 5 x d x

∫ x 3 + 2 x 2 - 5 x d x = x 2 2 + 5 x + ∫ 25 x + 2 x 2 - 5 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando a integral remanescente pelo método de integração por frações parciais:

Pra isso, temos que reescrever a fração integrando:

25 x + 2 x 2 - 5 x = A x + B x - 5

E encontraremos a equação:

25 x + 2 = A x - 5 + B x

E achamos valores de A e B , resolvendo o seguinte sistema:

25 = A + B 2 = - 5 A

E verificamos que:

A = - 2 5     e     B = 127 5

Passo 3

Agora falta resolver a integral que reescrevemos assim:

∫ 25 x + 2 x 2 - 5 x d x = ∫ - 2 5 x d x + ∫ 127 5 x - 5 d x

Que, resolvida, vai ser:

∫ 25 x + 2 x 2 - 5 x d x = - 2 5 ln ⁡ x + 127 5 ln ⁡ x - 5 + C

Então, finalmente chegamos ao resultado da integral lá do início!!!

∫ x 3 + 2 x 2 - 5 x d x = x 2 2 + 5 x - 2 5 ln ⁡ x + 127 5 ln ⁡ x - 5 + C

Resposta

∫ x 3 + 2 x 2 - 5 x d x = x 2 2 + 5 x - 2 5 ln ⁡ x + 127 5 ln ⁡ x - 5 + C

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