3 — Usando que

s e n a s e n b = 1 2 c o s a - b - c o s a + b

calcule as seguintes integrais:

a) ∫ s e n 3 x s e n 5 x d x  

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, temos que calcular

∫ s e n 3 x s e n 5 x d x

Mas temos um problema, a integral do produto de senos! Como calculamos isso?? Essa integral não é nada trivial, não é? 🤔

Para solucionar esse nosso probleminha, o enunciado foi caridoso e nos disse que podemos escrever o produto de senos como

s e n a s e n b = 1 2 c o s a - b - c o s a + b

Comparando nossa função s e n 3 x s e n 5 x com s e n a s e n b , vemos que a = 3 x e b = 5 x . Com isso, podemos escrever

s e n 3 x s e n 5 x = 1 2 c o s 3 x - 5 x - c o s 3 x + 5 x

s e n 3 x s e n 5 x = 1 2 c o s - 2 x - 1 2 c o s 8 x

Fazendo essa adaptação, o calculo da integral ficou mais tranquilo. Ao invés de ter uma integral que não sabemos qual é o resultado, temos duas integrais que os resultados estão praticamente na nossa rotina.

∫ s e n 3 x s e n 5 x d x = ∫ 1 2 c o s - 2 x d x - ∫ 1 2 c o s 8 x d x

Partiu calcular essas integrais?

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral

∫ 1 2 c o s - 2 x d x

A constante 1 / 2 não altera o resultado da integral, então podemos tira-la para fora

1 2 ∫ c o s - 2 x d x

Quando temos uma função de x contida dentro de outra função trigonométrica, usamos o método de substituição u . d u .

Consideramos a função que está contida como u e calculamos sua derivada d u , veja só

Nosso u será u = - 2 x , derivando u , temos

d u d x = d - 2 x d x = - 2

Isolamos d x em um lado da equação e obtemos

d x = - 1 2 d u

Substituímos - 2 x por u e d x por - 1 2 d u na integral, temos

1 2 ∫ c o s - 2 x d x → 1 2 ∫ - c o s u 1 2 d u

Também podemos tirar - 1 / 2 da integral e sabemos que a integral do cosseno é o seno, logo

1 2 - 1 2 ∫ c o s u d u = - 1 4 s e n u + C

Por fim, substituímos u por - 2 x para devolver a variável x do resultado

∫ 1 2 c o s - 2 x d x = - 1 4 s e n - 2 x + C

Está acompanhando?

Passo 3

Agora vamos calcular a outra integral

∫ 1 2 c o s 8 x d x

Assim como a integral anterior, podemos tirar a constante 1 / 2 para fora e substituir 8 x por u e derivando u , temos

d u d x = d 8 x d x = 8

Isolando d x em um lado da igualdade

d x = 1 8 d u

Substituindo 8 x por u e d x por ( 1 / 8 ) d u , temos

∫ 1 2 c o s 8 x d x → 1 2 ∫ c o s u 1 8 d u

Podemos tirar a constante 1 / 8 para fora e como vimos antes, a integral do cosseno é igual a seno, ou seja

1 2 · 1 8 ∫ c o s u d u = 1 16 s e n u + C

Voltando a variável x para o lugar dela, substituímos u por 8 x

∫ 1 2 c o s 8 x d x = 1 16 s e n 8 x + C

Algum mistério?

Passo 4

Por fim, precisamos apenas substituir os resultados na nossa integral lá do início, lembra?

∫ s e n 3 x s e n 5 x d x = ∫ 1 2 c o s - 2 x d x - ∫ 1 2 c o s 8 x d x

Onde encontramos

∫ 1 2 c o s - 2 x d x = - 1 4 s e n - 2 x + C ∫ 1 2 c o s 8 x d x = 1 16 s e n 8 x + C

Resultando em

∫ s e n 3 x s e n 5 x d x = - 1 4 s e n - 2 x - 1 16 s e n 8 x + C

Viu como ficou mais tranquilo depois que substituímos o produto dos senos pela sua equivalência?

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ s e n 3 x s e n 5 x d x = - 1 4 s e n - 2 x - 1 16 s e n 8 x + C

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