Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 500 ex 26

Avalie a integral

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x d x

Passo 1

Temos novamente uma integral indefinida, de uma função racional, que não parece sair facilmente por nenhum método simples de integração que conhecemos. Nesse caso, aplicamos frações parciais.

Primeiro tenho que conferir se o grau do numerador é menor que o do denominador:

O polinômio do numerador tem grau 2 e o do denominador tem grau 3 →   check!

Agora eu vou fatorar o polinômio do denominador, isto é, achar suas raízes.

Então eu vou fazer isso aqui:

x 3 + 3 x = x x 2 + 3

Beleza, eu cheguei em um termo linear e em um termo que é quadrático. O que eu faço agora? Confiro se esse termo quadrático é um quadrático irredutível.

Δ = b 2 -   4 a c = 1 - 12 < 0

Como Δ < 0 , o termo é um quadrático irredutível e não há mais nada a fazer.

Beleza, e agora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos desmembrar em frações parciais, lembrando que o termo linear x não se repete então será desmembrado como A / x .

O termo quadrático irredutível também não se repete e, se repararmos bem, ele é um polinômio do tipo x 2 +   b x + c   com b = 0 . Sendo assim, podemos desmembrá-lo como A x + B x 2 + 3

x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 ) = A x + B x + C x 2 + 3

Fazendo o MMC:

x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 ) = A ( x 2 + 3 ) + ( B x + C ) x x ( x 2 + 3 )

x 2 - x + 6 = A x 2 + 3 A + B x 2 + C x

x 2 - x + 6 = x 2 A + B + x C + ( 3 A )

Resolvendo o sistema para achar as constantes:

A + B = 1         C = - 1       3 A = 6      

C = - 1   ;   A = 2 → B = - 1

Passo 3

Substituindo as constantes para integrar:

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x d x = ∫ 2 x d x - ∫ x + 1 x 2 + 3 d x = ∫ 2 x d x - ∫ x x 2 + 3 d x - ∫ 1 x 2 + 3 d x

Essas são, todas elas, integrais que podemos fazer diretamente. Não vou me estender na explicação de cada uma em si, qualquer dúvida basta olhar as teorias passadas. Basicamente, a segunda sai por substituição simples e a terceira você manipula para chegar na integral de uma trigonométrica inversa, beleza?

∫ 2 x d x - ∫ x x 2 + 3 d x - ∫ 1 x 2 + 3 d x = ∫ 2 x d x - 1 2 ∫ 2 x x 2 + 3 d x - 1 3 ∫ d x 3 x 3 2 + 1

2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 - arctan ⁡ x / 3 3 + C

Só não vai esquecer a constante de integral indefinida, hein?

- ''

Resposta

- 1 3 arctan ⁡ x 3   + 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 + C

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