Calcule a integral por frações parciais:

∫   1 x 3 + 2 x 2   +   3 x d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   1 x 3 + 2 x 2   +   3 x d x . Como podemos começar essa integral? O que vocês acham?

Primeiro, vamos simplificar   1 x 3 + 2 x 2   +   3 x   colocando x em evidência . Então

  1 x 3 + 2 x 2   +   3 x =   1 x ( x 2 + 2 x   +   3 )

E agora, o que podemos fazer para simplificar ainda mais? Podemos tentar separar o denominador. Como vamos fazer isso? Vamos tentar encontrar A , b   e   C tais que

1 x ( x 2 + 2 x   +   3 ) = A x + B + C x ( x 2 + 2 x + 3 )

Passo 3

Desenvolvendo a expressão do passo anterior temos:

1 x ( x 2 + 2 x   +   3 ) = A ( x 2 + 2 x + 3 ) x ( x 2 + 2 x + 3 ) + ( B   + C x ) x x ( x 2 + 2 x + 3 )

Abrindo o produto

1 = A x 2 + 2 x A +   3 A   +   B x   +   C x 2

= ( A + C ) x 2 + x ( 2 A + B ) +   3 A  

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A + C =   0 ⇒ A   = - C

2 A + B = 0

3 A   =   1 ⇒   A = 1 / 3

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B   e   C . Vamos resolver!!!

Nosso sistema é

A   = - C

A = 1 / 3

2 A + B = 0

Resolvendo descobrimos que

A = 1 / 3

C = - 1 / 3

B = - 2 / 3

Passo 4

Usando os valores de A , B   e   C que obtemos no passo anterior, temos

1 x ( x 2 + 2 x   +   3 ) = 1 / 3 x - 2 / 3   + x / 3 ( x 2 + 2 x + 3 )

Então nossa integral fica da seguinte forma:

∫ 1 x ( x 2 + 2 x   +   3 ) d x = ∫ 1 / 3 x - 2 + x 3 ( x 2 + 2 x + 3 ) d x

pela linearidade da integral

= ∫ 1 / 3 x d x - 1 3 ∫ 2 + x ( x 2 + 2 x + 3 ) d x

Vamos calcular uma dessas integrais

∫ 1 / 3 x d x = 1 3 l n ( x )

Para calcular 1 3 ∫ 2 + x ( x 2 + 2 x + 3 ) , vamos fazer aparecer no numerador 2 x + 2 , então vamos escrever nossa integral da seguinte forma:

1 3 ∫ 2 + x ( x 2 + 2 x + 3 ) d x = 1 3 ∫ 2 + 2 x 2 ( x 2 + 2 x + 3 ) + 1 ( x 2 + 2 x + 3 ) d x

Passo 5

Vamos calcular 1 3 ∫ 2 + 2 x 2 ( x 2 + 2 x + 3 ) + 1 ( x 2 + 2 x + 3 ) d x

Pela linearidade da integral

1 3 ∫ 2 + 2 x 2 ( x 2 + 2 x + 3 ) + 1 ( x 2 + 2 x + 3 ) d x = 1 3 ∫ 2 + 2 x 2 ( x 2 + 2 x + 3 ) d x + 1 3 ∫ 1 ( x 2 + 2 x + 3 ) d x

Para resolver 1 3 ∫ 2 + 2 x 2 ( x 2 + 2 x + 3 ) vamos fazer u   =   x 2   +   2 x   + 3 ⇒   d u   =   ( 2 x + 2 ) d x . Então:

1 3 ∫ ( 2 x + 2 ) 2 ( x 2 + 2 x   +   3 ) d x = 1 6 ∫ 1 u d u

resolvendo a integral

= 1 6 l n ( u )

retornando para a variável original

= 1 6 l n ( x 2 + 2 x + 3 )

Passo 6

E para finalizar, precisamos calcular 1 3 ∫ 1 ( x 2 + 2 x + 3 ) d x . Para isso, vamos lembrar que:

∫   1 a 2   +   x 2 d x   =   1 a a r c t g ( x a ) + k

Então

1 3 ∫ 1 ( x 2 + 2 x + 3 ) d x = 1 3 ∫ 1 ( x 2 + 2 x + 1   +   2 ) d x

juntando o produto notável

= 1 3 ∫ 1 ( x + 1 ) 2 + 2 d x

usando o resultado acima

1 3 2 a r c t g ( x + 1 2 )

Juntando nossas integrais temos:

∫ 1 x 3 + 2 x 2   +   3 x ) d x = 1 3 l n ( x )   - 1 6 l n ( x 2 + 2 x + 3 )   - 1 3 2 a r c t g ( x + 1 2 )  

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Tivemos umas “simplificações” bem diferentes na resolução dessa questão. Quanto mais questões de integrais parciais vocês fizerem, mais vocês vão pegar o feeling de como devemos manipular as frações. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

1 3 l n ( x )   - 1 6 l n ( x 2 + 2 x + 3 )   - 1 3 2 a r c t g ( x + 1 2 )

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