Calcule as seguintes integrais:

a)

∫ z ²   −   3 z 3 +   z

Passo 1

Olá, xuxus! Tudo bem aí? Espero que sua semana esteja sendo leve assim como será a resolução dessa questão, bora lá?!

Bom, temos que encontrar o valor da seguinte integral indefinida:

∫ z ²   −   3 z 3 +   z d z

Ok! Eu sei que isso foi o que vocês leram da questão, temos que aprofundar. O primeiro ponto que temos que saber o porque essa integral é indefinida, e aí?

Essa integral é indefinida porque não há limites de integração, então a resposta que vamos encontrar para ela não é bem um valor numérico e sim uma função!

O segundo ponto que devemos ter antes de iniciar a resolução dessa questão é tentar imaginar uma estratégia para resolver essa integral. O que vocês fariam inicialmente?

Achooo super legal quando começamos já tentando simplificar a equação ou quem sabe “quebra-lá” para tornar mais simples a resolução.

Passo 2

Meus amores, creio que vocês já tentaram simplificar essa expressão. Quem sabe até tentaram dividir os polinômios. Bom, particurlarmente por aqui não deu em nada e aí? Hahaha

Então, vamos ter que utilizar as famosas frações parciais!

O intuito das frações parciais é justamente tentar tornar o quociente de dois polinômios em uma soma de frações mais simples. Belezinha??

Assim,

∫ z ²   −   3 z 3 +   z d z   =   ∫ z ²   −   3 z ( z ² + 1 ) d z

Vamos utilizar agora a quebra do denominador para obtermos a nossa soma de frações.

∫ z ²   −   3 z ( z ² + 1 ) d z   =   ∫ [   a 0 z   +   a 2 z   +   a 1 z ² + 1 ]   d z

=   ∫ [   a 0 ( z ² + 1 ) + z ( a 2 z   +   a 1 ) z ( z ² + 1 )   ]   d z

Agora vamos comparar os numeradores

z ² − 3   = a 0 ( z ² + 1 ) + z ( a 2 z   +   a 1 )  

Passo 3

Como precisamos descobrir os valores dos termos a 0 , a 2   e   a 1 , vamos atribuir um valor para z .

Para z   =   0 :

0 ² − 3   = a 0 ( 0 ² + 1 ) + 0 ( a 2 0   +   a 1 )

− 3   = a 0

Em seguida, vamos expandir o polinômio e substituir   a 0   =   − 3 .

z ² − 3   =   − 3 ( z ² + 1 ) + z ( a 2 z   +   a 1 )

z ² − 3   =   − 3 z ²   −   3 + a 2 z ²   +   a 1 z

Agrupando os termos de mesmo grau, obtemos que

z ² − 3   =   z ² ( − 3 + a 2 ) −   3 +   a 1 z

Logo,

{ − 3 + a 2   =   1   a 1   =   0  

Concluímos que

{ a 2   =   4   a 1   =   0  

Passo 4

Poderemos reescrever então as nossas frações parciais como,

∫ z ²   −   3 z ( z ² + 1 ) d z   =   ∫ [   a 0 z   +   a 2 z   +   a 1 z ² + 1 ]   d z

  = ∫ [   − 3 z   +   4 z   z ² + 1 ]   d z

Maravilha! Agora podemos resolver a integral.

∫ [   − 3 z   +   4 z   z ² + 1 ]   d z   =   ∫ [   − 3 z ]   d z + ∫ [ 4 z   z ² + 1 ] d z

Bom, é fundamental estarmos lembrando de algumas integrais clássicas para conseguirmos finalizar essa questão.

Vamos fazer devagarinho...

Primeiro vamos encontrar o valor da integral ∫ [   − 3 z ] d z   :

∫ [   − 3 z ]   d z   =   − 3 ∫ 1 z   d z

Bom, utilizando a tabelinha de integrais encontramos que ∫ d u u   =   l n | u |   +   c . Portanto,

∫ [   − 3 z ]   d z   =   − 3 l n | z |

Passo 5

Agora vamos encontrar o valor de ∫ [ 4 z   z ² + 1 ]   d z :

∫ [ 4 z   z ² + 1 ]   d z   =   4 ∫ [ z   z ² + 1 ]   d z

Precisaremos utilizar a técnica da substituição para facilitar nossos cálculos.

Chamando,

u   =   z ²   + 1

d u   =   2 z   d z

d z   =   d u 2 z

Substituindo u   =   z ²   + 1 :

4 ∫ [ z   z ² + 1 ]   d z   =   4 ∫ [ z   u ] ( d u 2 z )    

=   4 ∫ d u 2   u

=   4 ∙ 1 2 ∫ d u   u

Logo,

=   4 ∙ 1 2   ∙ l n | u |

=   2 l n | u |

Como u   =   z ²   + 1 :

2 l n | u |   =   2 l n | z ² + 1 |

Consequentemente,

∫ [ 4 z   z ² + 1 ]   d z   =   2 l n | z ² + 1 |  

Passo 6

Depois de tantas reviravoltas e cálculos... Encontramos que

∫ [   − 3 z   +   4 z   z ² + 1 ]   d z   =   − 3 l n | z | + 2 l n | z ² + 1 |     +   C

Essa questão não foi realmente mamão com açúcar. Necessitou que tivéssemos diversas estratégias para chegarmos a onde desejávamos. Só nessa questão vimos a técnica de frações parciais e a técnica de substituição. Além de termos que estar com a memória boa para lembrar de algumas integrais conhecidas. Por isso a prática de exercícios é fundamental!

Resposta

− 3 l n | z | + 2 l n | z ² + 1 |     +   C

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