Calcule a integral

∫ x 1 / 2 ln ⁡ x d x

Passo 1

Cara, a gente tem um produto de duas funções diferentes no nosso integrando. E uma delas é um log simples. Isso são duas dicas para tentarmos a integração por partes. Vamos escolher u e d v e usar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Bora lá!

Passo 2

Para escolher u , usamos a regrinha LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica, exponencial). O tipo de função que a gente tiver e aparecer primeiro nessa ordem vai ser nosso u .

∫ x 1 / 2 ln ⁡ x d x

Repara que a gente tem ln ⁡ x que é um log e tem x 1 2 , que é uma função algébrica. Quem aparece primeiro na LIATE é o log, né? Então a gente diz que:

u = ln ⁡ x

Vamos derivar para achar d u :

d u d x = 1 x ∴ d u = d x x

O que sobra na integral, a gente chama de d v :

d v = x 1 2 d x

Aí a gente integra os dois lados para achar v :

v = ∫ x 1 2 d x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 = x 3 2 3 2 = 2 3 x 3 2

Passo 3

Com u ,   v ,   d u e d v em mãos, a gente pode montar a fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = ln ⁡ x

d u = d x x

d v = x 1 2 d x

v = 2 3 x 3 2

∫ ln ⁡ x x 1 2 d x = ln ⁡ x 2 3 x 3 2 - ∫ 2 3 x 3 2 d x x

∫ ln ⁡ x x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - ∫ 2 3 x 3 2 d x x

Passo 4

Só falta a gente calcular essa integral nova que apareceu:

∫ 2 3 x 3 2 d x x = ∫ 2 3 x 3 2 ⋅ 1 x d x = ∫ 2 3 x 3 2 x d x

Vamos jogar a constante para fora da integral:

2 3 ∫ x 3 2 x 1 d x

E usar uma propriedade de potência para simplificar esse integrando:

2 3 ∫ x 3 2 - 1 d x = 2 3 ∫ x 1 2 d x

Agora é calcular o que ficou:

2 3 ∫ x 1 2 d x = 2 3 x 1 2 + 1 1 2 + 1 = 2 3 x 3 2 3 2 = 2 3 2 3 x 3 2 = 4 9 x 3 2

Passo 5

Aí conseguimos achar nossa resposta agora:

∫ ln ⁡ x x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - ∫ 2 3 x 3 2 d x x

∫ ln ⁡ x x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 4 9 x 3 2 + C

Não esquece do C ali, já que temos uma integral indefinida, tá?

Resposta

∫ ln ⁡ x x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 4 9 x 3 2 + C

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