Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule as integrais abaixo

a)

∫ 2 x + 3 x 2 - 4 x + 3 d x

Passo 1

Um polinômio dividindo por outro? Preciso nem falar que já pensei em frações parciais, né?

Vamos ver se esse polinômio do segundo grau do denomidador tem raízes.

Δ = b 2 - 4 a c = 16 - 4 × 1 × 3 = 16 - 12 = 4

x = - b ± Δ 2 a = 4 ± 2 2 = 3   e   1

Podemos então reescrever assim

x 2 - 4 x + 3 = x - 1 x - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Logo vamos ter então

2 x + 3 x 2 - 4 x + 3 = 2 x + 3 x - 1 x - 3

Podemos então serar isso aí

A x - 1 + B x - 3 = A x - 3 A + B x - B x - 1 x - 3

Vamos agora separar tudo o que está multiplicando x e tudo o que não está multiplicando x no numerador.

A + B x + ( - 3 A - B ) x - 1 x - 3

Lembrando que isso aí deve ser igual ao que tínhamos antes, ou seja

2 x + 3 x - 1 x - 3 = A + B x + ( - 3 A - B ) x - 1 x - 3

Passo 3

Com isso temos que

A + B = 2 - 3 A - B = 3

Isolando A na primeira equação temos

A = 2 - B

Substituindo esse valor na segunda equação temos

- 3 2 - B - B = 3

- 6 + 3 B - B = 3

2 B = 9

B = 9 2

Substituimos esse valor de B em qualquer uma das igualdades

A = 2 - B

A = - 5 2

Passo 4

Com os valores de A e B descobertos podemos voltar para a integral

∫ 2 x + 3 x 2 - 4 x + 3 d x = ∫ - 5 2 x - 1 + 9 2 x - 3 d x

Dessas integrais a gente já pode sair direto!!

= - 5 2 l n x - 1 + 9 2 l n x - 3 + c

Resposta

a - 5 2 l n x - 1 + 9 2 l n x - 3 + c

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