Calcule a integral:

∫ sen ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ x + 3 cos ⁡ x - 4 d x

Passo 1

Primeira coisa que a gente deve fazer é uma substituição simples u = cos ⁡ x , pois repare que tem um s e n ( x ) no numerador que vai cortar com a derivada da nossa substituição u = cos ⁡ x . Então, como d u = - s e n x d x , vamos ter:

∫ sen ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 cos ⁡ x - 4 d x = ∫ - d u u 2 + 3 u - 4

E agora, essa integral que nós chegamos será resolvida por frações parciais! Então vamos separar a expressão em frações parciais.

Passo 2

Separamos da seguinte maneira:

- 1 u 2 + 3 u - 4 = A u - 1 + B u + 4

E então teremos a seguinte equação envolvendo A e B :

- 1 = A u + 4 + B u - 1

E o sistema que teremos pra resolver é:

- 1 = 4 A - B 0 = A + B

Encontraremos:

A = - 1 5       e       B = 1 5

Passo 3

Achados A e B , podemos reescrever a expressão a ser integrada como :

- ∫ 1 5 u - 1 d u + ∫ 1 5 u + 4 d u = - ln ⁡ u - 1 5 + ln ⁡ u + 4 5 + C

Como u = cos ⁡ x , então a integral do enunciado fica:

∫ sen ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ x + 3 cos ⁡ x - 4 d x = - ln ⁡ cos ⁡ ( x ) - 1 5 + ln ⁡ cos ⁡ x + 4 5 + C

Resposta

∫ sen ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ x + 3 cos ⁡ x - 4 d x = - ln ⁡ cos ⁡ ( x ) - 1 5 + ln ⁡ cos ⁡ x + 4 5 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as int
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as int
Calcule. ∫ 4 x 3 - x 2 - 2 x d x
48. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função