Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Integração por Frações Parciais

Calcule as seguintes integrais:

c   ∫ 2 x - 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x d x

Passo 1

Então, uma integral com uma divisão de polinômios. Essa é a cara clássica da integral por frações parciais. Vamos abrir o termo do denominador até chegarmos a termos irredutíveis:

x 3 - 4 x 2 + 3 x = x x 2 - 4 x + 3

= x x - 3 x - 1

Agora abrimos as frações parciais:

2 x - 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x = A x + B x - 3 + C x - 1

2 x - 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x = A x - 3 x - 1 + B x x - 1 + C x x - 3 x 3 - 4 x 2 + 3 x

0 x 2 + 2 x + - 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x = A + B + C x 2 + - 4 A - B - 3 C x + 3 A x 3 - 4 x 2 + 3 x

Podemos armar um sistema igualando, de cada lado, os termos com mesma potência de x :

A + B + C = 0                             - 4 A - B - 3 C = 2             3 A = - 1                                                

A = - 1 3 ; B = 5 6 ; C = - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, enfim, podemos de fato integrar o novo termo que achamos:

2 x - 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x = - 1 3 x + 5 6 x - 3 + - 1 2 x - 1

∫ 2 x - 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x d x = ∫ - 1 3 d x x + ∫ 5 6 d x x - 3 + ∫ - 1 2 d x x - 1

= - ln ⁡ x 3 + 5 ln ⁡ x - 3 6 - ln ⁡ x - 1 2 + C

Resposta

∫ 2 x - 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x d x = - ln ⁡ x 3 + 5 ln ⁡ x - 3 6 - ln ⁡ x - 1 2 + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas