Calcule a integral por frações parciais:

∫   6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) d x . Como podemos começar essa integral? O que vocês acham?

Primeiro, vamos simplificar 6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) escrevendo essa fração na forma

6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) = A ( x - 3 ) + B + C x ( x 2 + 6 x + 10 )

Para isso, iremos obter A   e   B     .

Passo 3

Desenvolvendo a expressão do passo anterior temos:

6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) = A ( x 2 + 6 x + 10 ) ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) + B ( x - 3 )   + C x ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 )

Então

6 x 2 + 8 x - 4 = A x 2   +   6 A x   +   10 A   +   B x   - 3 B + C x 2 - 3 C x

= ( A + C ) x 2 + x ( 6 A + B - 3 C ) - 3 B + 10 A

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

Passo 4

Desenvolvendo a expressão do passo anterior temos:

6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) = A ( x - 3 ) + B + C x ( x 2 + 6 x + 10 )

Então

( 4 x 2 + 7 x + 1 ) = A x 2 + 5 A x / 3 - 2 A / 3 + B x 2 + 3 B x + 2 B + C x 2 + 2 C x / 3 - C / 3

= ( A + B + C ) x 2 + x ( 5 A / 3 + 3 B + 2 C / 3 ) - 2 A / 3 + 2 B - C / 3

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A + C   =   6

6 A + B - 3 C   =   8

- 3 B + 10 A   =   - 4

Resolvendo o sistema obtemos os seguintes valores para A ,   B   e   C

A = 2

B = 8

C = 4

Passo 5

Usando os valores de A ,   B   e   C podemos escrever

6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) = 2 ( x - 3 ) + 8 + 4 x ( x 2 + 6 x + 10 )

Mas podemos simplificar a fração 8 + 4 x ( x 2 + 6 x + 10 ) ainda mais. Temos:

8 + 4 x ( x 2 + 6 x + 10 ) =   2 ( 2 x + 6 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) -   4 ( x 2 + 6 x + 10 )

Parece que ficou pior, né? Mas vamos ver como essa simplificação irá nos ajudar na hora de calcular a integral

Queremos calcular

∫ 6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) = ∫ 2 ( x - 3 ) + 8 + 4 x ( x 2 + 6 x + 10 ) d x

= ∫ 2 ( x - 3 ) d x   + ∫ 2 ( 2 x + 6 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) d x -   ∫ 4 ( x 2 + 6 x + 10 ) d x  

Passo 6

Vamos começar calculando ∫ 2 ( x - 3 ) d x , mas essa integral é manjada. é o nosso logaritmo. Então

∫ 2 ( x - 3 ) d x = 2 l n ( x - 3 )

Agora vamos calcular ∫ 2 ( 2 x + 6 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) d x

(fazendo u = x 2 + 6 x   + 10   ⇒ d u   =   ( 2 x + 6 ) d x )

∫ 2 ( 2 x + 6 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) d x = ∫ 2 d u u

= 2 l n ( u )

retornando para a variável original

= 2 l n ( x 2 + 6 x + 10 )

E para finalizar, precisamos calcular ∫ 4 ( x 2 + 6 x + 10 ) d x . Para isso, vamos lembrar que:

∫   1 a 2   +   x 2 d x   =   1 a a r c t g ( x a ) + k

Então

∫ 4 ( x 2 + 6 x + 10 ) d x = ∫ 4 ( x 2 + 6 x + 9   +   1 ) d x

juntando o produto notável

= 4 ∫ 1 ( x + 3 ) 2 + 1 ) d x

usando o resultado acima

4 a r c t g ( x + 3 )

Juntando nossas integrais temos:

∫ 6 x 2 + 8 x - 4 ( x - 3 ) ( x 2 + 6 x + 10 ) =   2 l n ( x - 3 )   + 2 l n ( x 2 + 6 x + 10 )   - 4 a r c t g ( x + 3 )    

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa foi bem grandinha, mas espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

2 l n ( x - 3 )   + 2 l n ( x 2 + 6 x + 10 )   - 4 a r c t g ( x + 3 )

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