Calcule:

l )   ∫ x 2 - 3 x 2 + 3 x + 2 d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Para esta integral vai ser legal tentarmos simplificar o integrando de forma a identificar alguma coisa que é um pouco mais simples! Existem várias maneiras de fazer isso, mas, é uma boa ideia tentar inicialmente escrever o denominador do integrando como um produto de dois termos! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa a se notar é que:

x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )

De forma que nossa integral toma a forma:

∫ x 2 - 3 x 2 + 3 x + 2 d x = ∫ x 2 - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) d x

Esse formato é bastante conveniente para a utilização do método de frações parciais! Bora fazer isso!

Passo 3

O nosso denominador é um produto de dois polinômios de primeiro grau, portanto podemos reescrevê-lo como:

1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = A x + 1 + B x + 2

Em que A e B são polinômios de grau 0 (constantes hehehe). Vamos fazer o MMC do lado direito da equação acima, obtendo:

1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = A x + 1 + B x + 2 = A x + 2 + B ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 )

Note que o lado esquerdo e o lado direito têm o mesmo denominador, portanto, para a equação ser verdade, os numeradores devem ser iguais, ou seja:

1 = A x + 2 + B ( x + 1 )  

Bora utilizar essa expressão para achar nossas constantes!

Passo 4

Para que a igualdade seja verdadeira, os coeficientes do x em ambos os lados da equação devem ser iguais, assim como os termos constantes, temos então que:

A + B = 0

E

2 A + B = 1

Da primeira equação, A = - B , e usando isso na segunda equação, temos:

- 2 B + B = 1 → - B = 1 → B = - 1

E, portanto, A = 1 . Desta forma, nossa integral toma a seguinte forma:

∫ x 2 - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) d x = ∫ x 2 - 3 ( x + 1 ) d x - ∫ x 2 - 3 ( x + 2 ) d x

Vamos tentar resolver isso agora que estão um pouquinho mais simples! Bora lá!

Passo 5

A primeira coisa seria dividir elas em mais termos, temos que:

∫ x 2 - 3 x + 1 d x - ∫ x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ x 2 x + 1 d x - ∫ x 2 x + 2 d x - 3 ∫ 1 x + 1 d x + 3 ∫ 1 x + 2 d x           ( 1 )

As duas últimas integrais estão em um bom formato para serem resolvidas, então vamos trabalhar um pouco com as duas primeiras!

Passo 6

Vamos tentar fazer a seguinte substituição u = x + 1 , ou seja, x = u - 1 e d u = d x , desta forma:

∫ x 2 x + 1 d x = ∫ u - 1 2 u d u = ∫ u 2 - 2 u + 1 u d u = ∫ u d u - 2 ∫ d u + ∫ 1 u d u  

Todas estas integrais são resolvíveis! Vamos fazer algo análogo para a segunda integral. Só que agora usaremos u = x + 2 , x = u - 2 e d u = d x , temos que:

∫ x 2 x + 2 d x = ∫ u - 2 2 u d u = ∫ u 2 - 4 u + 4 u d u = ∫ u d u - 4 ∫ d u + 4 ∫ 1 u d u

Vamos resolver estas integrais!

Passo 7

Temos que:

∫ u d u = u 1 + 1 1 + 1 + C = u 2 2 + C

Também

∫ d u = u + C

E

∫ 1 u d u = ln ⁡ ( u ) + C

De forma que utilizando os u corretos para cada integral, obtemos:

∫ x 2 x + 1 d x = x + 1 2 2 - 2 x + 1 + ln ⁡ x + 1 + C           ( 2 )

E, também:

∫ x 2 x + 2 d x = x + 2 2 2 - 4 x + 2 + 4 ln ⁡ x + 2 + C           ( 3 )

Vamos guardar este resultado por enquanto! E vamos resolver as duas integrais que faltam na equação (1).

Passo 8

Nos restou duas integrais, elas são bem diretas, se utilizarmos u = x + 1 e d u = d x , temos que:

∫ 1 x + 1 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ ( u ) + C = ln ⁡ ( x + 1 ) + C           ( 4 )

E para a outra integral, u = x + 2 e d u = d x , temos:

∫ 1 x + 2 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ ( u ) + C = ln ⁡ ( x + 2 ) + C           ( 5 )

Usando (2), (3), (4) e (5), na equação (1), temos:

∫ x 2 x + 1 d x - ∫ x 2 x + 2 d x - 3 ∫ 1 x + 1 d x + 3 ∫ 1 x + 2 d x = x + 1 2 2 - 2 x + 1 + ln ⁡ x + 1 - x + 2 2 2 - 4 x + 2 + 4 ln ⁡ x + 2 - 3 ln ⁡ x + 1 + 3 ln ⁡ x + 2 + C

Isso pode ser bastante simplificado utilizando propriedades do logaritmo e expandindo termos, considero suficiente deixar como:

∫ x 2 - 3 x 2 + 3 x + 2 d x = 1 2 x + 1 2 - x + 2 2 + 2 2 x + 2 - x + 1 - 2 ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x + 2 + C = 1 2 x + 1 2 - x + 2 2 + 2 x + 3 + ln ⁡ 1 x + 1 2 x + 2 = x + ln ⁡ 1 x + 1 2 x + 2 + C

A constante de integração C absorverá um constante que surge durante a expansão. A questão é isso! Te vejo na próxima!

Resposta

∫ x 2 - 3 x 2 + 3 x + 2 d x = x + ln ⁡ 1 x + 1 2 x + 2 + C

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