2 - Usando a técnica do exercício anterior calcule:

d) ∫ s e n m x c o s n x d x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Para essa questão, temos que calcular a integral

∫ s e n m x c o s n x d x

Mas como a questão foi bondosa, nos deu um método que vamos usar para facilitar os cálculos. Este método consiste em escrevermos o produto de s e n e c o s como

s e n a c o s b = 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

Assim, escrevemos nossa função como

s e n m x c o s n x = 1 / 2 s e n m x + n x + s e n m x - n x

Calculando a distributiva de ½ e fazendo as operações dentro dos senos, temos

s e n m x c o s n x = 1 2 s e n m + n x + 1 2 s e n m - n x

Percebeu a diferença??

O que antes era uma integral difícil e não trivial, agora se transformou em duas integrais que já conhecemos.

∫ s e n m x c o s n x d x = ∫ 1 2 s e n m + n x d x + ∫ 1 2 s e n m - n x d x

Viu como agora ficou mais simples? Vamos calcular essas integrais!

Passo 2

Vamos calcular uma de cada vez. Primeiro vamos calcular a integral

∫ 1 2 s e n m + n x d x

Podemos tirar a constante 1 / 2 para fora da integral, resultando em

1 2 ∫ s e n m + n x d x

Quando temos uma integral de uma função trigonométrica onde a função que está contida dentro dessa função trigonométrica for diferente da variável de integração, temos que usar o método de substituição u . d u .

No caso a variável de integração é x e a função contida dentro de s e n é m + n x .

A gente substitui essa função m + n x por u e calculamos d u como

d u d x = d m + n x d x = m + n

Isolamos d x em um lado da equação

d x = 1 m + n d u

O próximo passo é substituir m + n x por u e d x por 1 m + n d u , com isso, temos

1 2 ∫ s e n m + n x d x → 1 2 ∫ s e n u 1 m + n d u

A constante 1 m + n pode sair da integração, assim como fizemos com 1 / 2 anteriormente.

1 2 ∫ s e n u 1 m + n d u → 1 2 · 1 m + n ∫ s e n u d u

Com tudo isso, a integral que temos que calcular é a integral do s e n que sabemos que é igual a - c o s , ou seja

1 2 · 1 m + n ∫ s e n u d u = - 1 2 · 1 m + n cos ⁡ u + C

Agora devolvemos a variável x ao resultado substituindo u por m + n x

∫ 1 2 s e n m + n x d x = - 1 2 · 1 m + n cos ⁡ m + n x + C

Entendeu?

Passo 3

O próximo passo é calcular a segunda integral dada por

∫ 1 2 s e n m - n x d x

Assim como a integral anterior, podemos pôr a constante 1 / 2 para fora e substituir a função contida em s e n por u .

Se m - n x = u , então calculando d u temos

d u d x = d m - n x d x = m - n

Isolando d x em um lado da equação, temos

d x = 1 m - n d u

Substituindo m - n x por u e d x por 1 m - n d u , temos

∫ 1 2 s e n m - n x d x → 1 2 ∫ s e n u 1 m - n d u

Assim como tiramos ½ , vamos por 1 m - n para fora da integral

1 2 · 1 m - n ∫ s e n u d u

No fim, a integral que vamos calcular é a integral do s e n que já vimos que é igual a - c o s , ou seja

1 2 · 1 m - n ∫ s e n u d u = - 1 2 · 1 m - n cos ⁡ u + C

Devolvemos a variável x ao resultado substituindo u por m - n x

∫ 1 2 s e n m - n x d x = - 1 2 · 1 m - n cos ⁡ m - n x + C

Interessante, não?

Passo 4

Para finalizar, substituímos os resultados que encontramos na nossa integral inicial, lembra dela?

∫ s e n m x c o s n x d x = ∫ 1 2 s e n m + n x d x + ∫ 1 2 s e n m - n x d x

∫ s e n m x c o s n x d x = - 1 2 1 m + n cos ⁡ m + n x - 1 m - n cos ⁡ m - n x + C

Perceba que podemos usar esse resultado como solução geral quando m e n forem constantes.

Lembre-se da nossa receitinha quando temos que usar o método de substituição u . d u

1°: substituímos a função que está contida dentro da outra função por u .

2°: calculamos d u d x = d u d x e isolamos d x de um lado da igualdade.

3°: substituímos u e d u , calculamos a integral.

4°: depois da integral calculada, substituímos u pela função inicial.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ s e n m x c o s n x d x = - 1 2 · 1 m + n cos ⁡ m + n x - 1 2 · 1 m - n cos ⁡ m - n x + C

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