Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule a integral

∫ 3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x

Passo 1

Temos a integral de uma divisão de polinômios, então vamos de frações parciais!

Primeiramente, repare que o polinômio x 2 + 2 x + 3 é quadrático irredutível, pois o discriminante dele é negativo:

Δ = 2 2 - 4.1 . 3 = 4 - 12 = - 8 < 0

Então vamos ter:

3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 = A x + 2 + B 2 x + 2 + C x 2 + 2 x + 3

= A x + 2 + 2 B x + 2 B + C x 2 + 2 x + 3

Repara que aqui usei aquele macete de escrever a fração parcial correspondente a a x 2 + b x + c na forma

B 2 a x + b + C a x 2 + b x + c

O que vai facilitar nossas contas mais pra frente. :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Enfim, botando as frações parciais no mesmo denominador:

A x + 2 + 2 B x + 2 B + C x 2 + 2 x + 3 = A x 2 + 2 x + 3 + 2 B x + 2 B + C x + 2 x + 2 x 2 + 2 x + 3

= A x 2 + 2 A x + 3 A + 2 B x 2 + 4 B x + 2 B x + 4 B + C x + 2 C x + 2 x 2 + 2 x + 3

= A + 2 B x 2 + 2 A + 6 B + C x + 3 A + 4 B + 2 C x + 2 x 2 + 2 x + 3

Passo 3

Comparando:

3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 = A + 2 B x 2 + 2 A + 6 B + C x + 3 A + 4 B + 2 C x + 2 x 2 + 2 x + 3

Obtemos o seguinte sistema:

A + 2 B = 0 2 A + 6 B + C = 0 3 A + 4 B + 2 C = 3

Pela 1ª equação:

A = - 2 B

Substituindo na 2ª:

2 - 2 B + 6 B + C = 0

- 4 B + 6 B + C = 0

2 B + C = 0

C = - 2 B

Usando isso na 3ª equação:

3 - 2 B + 4 B + 2 - 2 B = 3

- 6 B + 4 B - 4 B = 3

- 6 B = 3

⇒ B = - 3 6 = - 1 2

Assim,

A = C = - 2 - 1 2 = 1

Passo 4

Daí tiramos que

3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 = A x + 2 + 2 B x + 2 B + C x 2 + 2 x + 3

= 1 x + 2 + 2 - 1 2 x + 2 - 1 2 + 1 x 2 + 2 x + 3 = 1 x + 2 + - x - 1 + 1 x 2 + 2 x + 3

= 1 x + 2 - x x 2 + 2 x + 3

Ou seja:

∫ 3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = ∫ 1 x + 2 d x - ∫ x x 2 + 2 x + 3 d x

Passo 5

A primeira integral sai direto:

∫ 1 x + 2 d x = ln ⁡ x + 2 + C

Passo 6

Já pra segunda integral, vamos ter que dar uma manipulada:

∫ x x 2 + 2 x + 3 d x

Fazer uma substituição simples, aproveitando que tem um x no numerador e um x 2 no denominador é uma opção tentadora, mas não vai dar certo. :/

Então vamos fazer o seguinte:

x x 2 + 2 x + 3 = x x + 1 2 + 2

Está vendo pra onde isso está caminhando? Botando o 2 em evidência no denominador:

x x + 1 2 + 2 = 1 2 x x + 1 2 2 + 1 = 1 2 x x + 1 2 2 + 1

Passo 7

Então temos

∫ x x 2 + 2 x + 3 d x = 1 2 ∫ x x + 1 2 2 + 1 d x

Fazendo a substituição

u = x + 1 2 → d u = 1 2 d x

→ d x = 2 d u

Também temos que escrever o “ x ” que está na integral em função de u :

x = 2 u - 1

Pronto! A integral ficou:

1 2 ∫ x x + 1 2 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 2 u - 1 u 2 + 1 2 d u

= 2 2 ∫ 2 u - 1 u 2 + 1 d u = 2 2 ∫ 2 u u 2 + 1 d u - ∫ 1 u 2 + 1 d u

Passo 8

Vamos calcular essas novas integrais que apareceram:

∫ 2 u u 2 + 1 d u = 2 ∫ u u 2 + 1 d u

Fazendo uma substituição

v = u 2 + 1 → d v = 2 u d u

→ d u = 1 2 d v

Vamos ter:

2 ∫ u u 2 + 1 d u = 2 2 ∫ 1 v d v

= 2 2 ln ⁡ v + C = 2 2 ln ⁡ u 2 + 1 + C

Passo 9

Já a outra integral é simplesmente:

∫ 1 u 2 + 1 d u = arctg ⁡ u + C

Passo 10

Agora muita calma pra não se confundir. A gente fez um monte de coisa ao longo da questão, frações parciais, substituição, substituição da substituição...

Recapitulando aqui rapidinho:

∫ 3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = ln ⁡ x + 2 - ∫ x x 2 + 2 x + 3 d x

Sendo que :

∫ x x 2 + 2 x + 3 d x = 2 2 ∫ 2 u u 2 + 1 d u - ∫ 1 u 2 + 1 d u

Usando essas integrais que calculamos agora a pouco, vai ficar:

∫ x x 2 + 2 x + 3 d x = 2 2 2 2 ln ⁡ u 2 + 1 - arctg ⁡ u + C

∫ x x 2 + 2 x + 3 d x = 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 - 2 2 arctg ⁡ u + C

Passo 11

Então, juntando tudo (até que enfim):

∫ 3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = ln ⁡ x + 2 - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + 2 2 arctg ⁡ u + C

Como u 2 + 1 > 0 , podemos tirar o módulo do logaritmo:

∫ 3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = ln ⁡ x + 2 - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + 2 2 arctg ⁡ u + C

Calma que ainda não acabou, temos que voltar pra variável x ! Lembrando que

u = x + 1 2

Então:

∫ 3 x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = ln ⁡ x + 2 - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 2 + 1 + 2 2 arctg ⁡ x + 1 2 + C

Aeee agora sim, acabou a questão! :)

Resposta

ln ⁡ x + 2 - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 2 + 1 + 2 2 arctg ⁡ x + 1 2 + C

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