Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calculeas integrais abaixo

c)

∫ x 3 - 2 x 2 + x + 3 x 2 - x - 2 d x

Passo 1

Um polinômio dividindo por outro? Preciso nem falar que já pensei em frações parciais, né?

Como o grau do polinômio do numerado é maior do que o do denominador, vamos precisar fazer essa divisão de polinômio.

x 3 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - x - 2 x - 1 + 2 x + 1

Logo

x 3 - 2 x 2 + x + 3 x 2 - x - 2 = x - 1 + 2 x + 1 x 2 - x - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Até agora temos que

∫ x 3 - 2 x 2 + x + 3 x 2 - x - 2 d x = ∫ x - 1 + 2 x + 1 x 2 - x - 2 d x = ∫ x d x - ∫ 1 d x + ∫ 2 x + 1 x 2 - x - 2 d x

Aplicando então frações parciais na última integral

Vamos começar vendo se o polinômio do denominador tem raízes.

Δ = b 2 - 4 a c = 1 - 4 × - 2 = 9

x = - b ± Δ 2 a = 1 ± 3 2 = 2   e - 1

Logo

x 2 - x - 2 = ( x - 2 ) ( x + 1 )

Passo 3

Vamos então fazer a separação

2 x + 1 x 2 - x - 2 = A x + 1 + B x - 2 = A x - 2 A + B x + B x + 1 x - 2

Separando os termos que estão multiplicando por x e os que não estão.

2 x + 1 x 2 - x - 2 = A + B x + ( - 2 A + B ) x 2 - x - 2

A + B = 2 - 2 A + B = 1

3 A = 1 → A = 1 3

Substituindo na primeira equação

1 3 + B = 2 → B = 5 3

Passo 4

Sustituindo isso na integral la de cima

∫ x d x - ∫ 1 d x + ∫ 2 x + 1 x 2 - x - 2 d x = ∫ x d x - ∫ 1 d x + ∫ 1 3 x + 1 d x + ∫ 5 3 x - 2 d x

Agora é só substituis os resultados.

x 2 2 - x + 1 3 l n x + 1 + 5 3 l n x - 2 + c

Resposta

x 2 2 - x + 1 3 l n x + 1 + 5 3 l n x - 2 + c

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