Calcule

∫ x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x

Passo 1

Essa é a cara clássica de uma integral que pede frações parciais. Vamos resolver primeiro esse denominador e tentar abrí-lo:

x 2 - 3 x + 2 = x - 2 x - 1

Agora podemos abrir a função pelas frações seguinto o caso 1 da nossa teoria:

x + 1 x - 2 x - 1 = A x - 2 + B x - 1 = A x + B x - A - 2 B x - 2 x - 1

Resolve o sisteminha aqui então:

A + B = 1 - A - 2 B = 1

B = - 2   ; A = 3

Já podemos voltar para a equação inicial:

∫ x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ 3 x - 2 - 2 x - 1 d x

3 ∫ 1 x - 2 d x - 2 ∫ 1 x - 1 d x

= 3 ln ⁡ x - 2 - 2 ln ⁡ x - 1 + C

= ln ⁡ x - 2 3 x - 1 2 + C

Resposta

∫ x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x = ln ⁡ x - 2 3 x - 1 2 + C

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