Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

1a) Calcule as primitivas abaixo:

∫ - x + 6 x x 2 - 5 x + 6 d x

Passo 1

A primeira coisa a se fazer pra calcular essa integral é olhar bem pro fundo dos olhos dela e perguntar: o que é você? Bem, se ela não mentiu pra você, ela vai dizer: sou um polinômio dividido por outro de grau superior! Opa, então isso da uma ideia: frações parciais! Veja só:

∫ a b x + c d x = a b ln ⁡ b x + c

Então vamos tentar reescrever a integral do enunciado como uma soma de integrais como a acima, que aí a resolução sai direto, beleza? Bora lá:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O truque vai ser olhar pro denominador. Saca só:

x x 2 - 5 x + 6

Pô, temos uma polinômio de segundo grau multiplicado por x ! Se fizermos Bháskara nele, tere,os então:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Seja:

a = 1 b = - 5 c = 6

Vamos ter as seguintes raízes:

x 1,2 = 5 ± - 5 2 - 4 . 1.6 2.1 = 5 ± 25 - 24 2

x 1,2 = 5 ± 1 2 = 5 ± 1 2 = 5 + 1 2 = 3 5 - 1 2 = 2

E logo, reescrevemos o polinômio para:

x 2 - 5 x + 6 = x - 2 x - 3

E a integral vira:

∫ - x + 6 x x 2 - 5 x + 6 d x = ∫ - x + 6 x x - 2 x - 3 d x

Pelo método das frações parciais, podemos separar essa integral em duas então:

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = ∫ A x d x + ∫ B x - 2 d x + ∫ C x - 3 d x

Como a resolução é direta, vamos ter então:

∫ - x + 6 x x - 2 x - 3 d x = A ln ⁡ x + B ln ⁡ x - 2 + C ln ⁡ x - 3

O truque então vai ser achar quem são as constantes A , B , C .

Passo 3

Pra achar as constantes, vamos esquecer a integral um pouco e ver a função dentro dela só:

- x + 6 x x - 2 x - 3 = A x + B x - 2 + C x - 3

Bora por tudo no mesmo denominador pra podermos cortar ele. Vamos ter:

- x + 6 x x - 2 x - 3 = A x - 2 x - 3 x x - 2 x - 3 + B x x - 3 x x - 2 x - 3 + C x x - 2 x x - 2 x - 3

Tirando o denominador então:

- x + 6 = A x - 2 x - 3 + B x x - 3 + C x x - 2

E fazendo a distributiva:

- x + 6 = A x 2 - 5 x + 6 + B x 2 - 3 x + C x 2 - 2 x

- x + 6 = A x 2 - 5 A x + 6 A + B x 2 - 3 B x + C x 2 - 2 C x

0 x 2 + - 1 x + 6 = A + B + C x 2 + - 5 A - 3 B - 2 C x + 6 A

Igualando os termos em colchetes:

A + B + C = 0 - 5 A - 3 B - 2 C = - 1 6 A = 6

A última linha, tiramos:

A = 1

Substituindo nas outras duas e multiplicando a segunda por - 1 , ficamos com:

B + C = - 1 3 B + 2 C = - 4

Multiplicando a primeira linha por - 2 :

- 2 B - 2 C = 2 3 B + 2 C = - 4

Somando as duas linhas

- B + 3 B + 2 C - 2 C = 2 - 4

B = - 2

Substituindo B então achamos:

B + C = - 1

- 2 + C = - 1

C = 1

Fechamos então os valores das constantes, que serão:

A = 1 B = - 2 C = 1

E acabamos! O resultado da integral vai ser:

∫ - x + 6 x x - 2 x - 3 d x = A ln ⁡ x + B ln ⁡ x - 2 + C ln ⁡ x - 3

∫ - x + 6 x x - 2 x - 3 d x = ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x - 2 + ln ⁡ x - 3

Mas não se esqueça de por a constante de integração em!

∫ - x + 6 x x - 2 x - 3 d x = ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x - 2 + ln ⁡ x - 3 + k

Resposta

∫ - x + 6 x x - 2 x - 3 d x = ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x - 2 + ln ⁡ x - 3 + k

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