Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule a integral

∫ cosh ⁡ x sinh ⁡ x + 4 cosh ⁡ x sinh ⁡ x 2 - sinh ⁡ x - 2 d x

Passo 1

Não sei você mas essa integral pra mim é de assustar. Mas relaxa, vamos com calma. Primeira coisa que temos que ver é que tem muitos termos repetidos. Por exemplo, podemos reescrever a integral dessa forma:

∫ cosh ⁡ x sinh ⁡ x + 4 cosh ⁡ x sinh ⁡ x 2 - sinh ⁡ x - 2 d x = ∫ cosh ⁡ x sinh ⁡ x + 4 sinh ⁡ x 2 - sinh ⁡ x - 2 d x

E assim, sobra dentro do colchetes somente termos com senh ⁡ x , o que é uma coisa boa se lembrarmos que:

d sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ x

Então vamos tentar a substituição simples:

u = sinh ⁡ x

d u d x = cosh ⁡ x

d x = d u cosh ⁡ x

A nossa integral fica:

∫ cosh ⁡ x sinh ⁡ x + 4 sinh ⁡ x 2 - sinh ⁡ x - 2 d x = ∫ cosh ⁡ x u + 4 u 2 - u - 2 d u cosh ⁡ x

= ∫ u + 4 u 2 - u - 2 d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora pra resolver a integral que sobrou, que é toda em função de u temos que usar as famosas e queridas frações parciais, beleza? Isso porque quando a gente consegue escrever na forma de frações parciais a integral já sai direto!

Vamos então achar as raízes do denominador pra gerar as frações. O denominador é:

u 2 - u - 2 = 0

Logo suas raízes vão ser:

u 1,2 = - - 1 ± - 1 2 - 4.1 . - 2 2

u 1,2 = 1 ± 1 + 8 2 = 1 ± 9 2 = 1 ± 3 2

u 1,2 = 2 - 1

Reescrevemos então o denominador para:

u 2 - u - 2 = u - u 1 u - u 2 = u - 2 u + 1

E a integral fica:

∫ u + 4 u 2 - u - 2 d u = ∫ u + 4 u - 2 u + 1 d u = ∫ A u - 2 + B u + 1 d u

= ∫ A u - 2 d u + ∫ B u + 1 d u = A ln ⁡ u - 2 + B ln ⁡ u + 1

Revertendo a substituição simples, ficamos com:

A ln ⁡ sinh ⁡ x - 2 + B ln ⁡ sinh ⁡ x + 1

Vai faltar só achar quem é A e B

Passo 3

Pra achar A e B , vamos lembrar do seguinte:

u + 4 u - 2 u + 1 = A u - 2 + B u + 1

Multiplicando a fração que contém A por u + 1 e a que contem B por u - 2 , ficamos com:

u + 4 u - 2 u + 1 = A u + 1 + B u - 2 u - 2 u + 1

Cortando os denominadores e aplicando a distributiva:

u + 4 = A u + A + B u - 2 B

Reorganizando:

1 u + 4 = A + B u + A - 2 B

E organizado dessa forma, se compararmos os coeficientes dos dois polinômios de primeiro grau acima, em função de u, que estão sendo igualados, obtemos esse sistema de equações esperto aqui:

A + B = 1 A - 2 B = 4

Multiplicando a primeira linha por 2:

2 A + 2 B = 2 A - 2 B = 4

Somando as duas linhas:

3 A = 6

A = 2

Mas como A + B = 1 , e A = 2 , teremos então que B = - 1 . Fechamos nossa questão! O resultado final vai ser:

∫ cosh ⁡ x sinh ⁡ x + 4 cosh ⁡ x sinh ⁡ x 2 - sinh ⁡ x - 2 d x =   A ln ⁡ sinh ⁡ x - 2 + B ln ⁡ sinh ⁡ x + 1 + C

∫ cosh ⁡ x sinh ⁡ x + 4 cosh ⁡ x sinh ⁡ x 2 - sinh ⁡ x - 2 d x =   2 ln ⁡ sinh ⁡ x - 2 - ln ⁡ sinh ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ cosh ⁡ x sinh ⁡ x + 4 cosh ⁡ x sinh ⁡ x 2 - sinh ⁡ x - 2 d x =   2 ln ⁡ sinh ⁡ x - 2 - ln ⁡ sinh ⁡ x + 1 + C

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