Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Integração por Frações Parciais

Calcule a integral abaixo:

∫ x 2 + 3 x 4 - 1 d x

Passo 1

Maior cara de decomposição por frações parciais. Arrumando o denominador por produto notável:

x 4 - 1 = x 2 - 1 x 2 + 1

Mais uma vez produto notável:

x 4 - 1 = x - 1 x + 1 x 2 + 1

Show. Agora temos todos os termos irredutíveis. Podemos fazer frações parciais da seguinte maneira:

x 2 + 3 x 4 - 1 ≡ A x - 1 + B x + 1 + C x + D x 2 + 1

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Passo 2

Passando o x 4 - 1 pro outro lado, igualamos os polinômios:

x 2 + 3 ≡ x + 1 x 2 + 1 A + x - 1 x 2 + 1 B + x + 1 x - 1 C x + D

Terrível... Porém podemos substituir alguns valores de x para facilitar as contas, pois a igualdade acima deve valer para todos os valores de x . Boas substituições são as raízes do denominador x 4 - 1 pois elas zeram vários termos. As raízes são ± 1 e ± - 1 . Você pode substituir elas ou qualquer outro valor. Outra boa é o x = 0 , porque sempre zera várias coisas também.

Fazendo x = 1 :

1 2 + 3 = 1 + 1 1 2 + 1 A + 0 × B + 0 × C + D

4 = 4 A

A = 1

Perfeito?

Passo 3

Fazendo x = - 1 , que é outra raiz:

- 1 2 + 3 = 0 × A + - 1 - 1 - 1 2 + 1 B + 0 × - C + D

4 = - 4 B

B = - 1

Passo 4

Show de bola. Agora você pode substituir o x = 0 ou valores complexos mesmo... Vai da sua cabeça. Eu vou com os complexos porque zeram x 2 + 1 . Fazendo x = - 1 = i :

i 2 + 3 = 0 × A + 0 × B + i + 1 i - 1 i C + D

- 1 + 3 = i 2 - 1 2 i C + D

2 = - 1 - 1 i C + D

2 = - 2 i C + D

i C + D = - 1

Temos uma relação entre C e D . Fazendo outra substituição teremos um sistema linear.

Passo 5

Seja x = - i :

- i 2 + 3 = 0 × A + 0 × B + - i + 1 - i - 1 - i C + D

2 = ( - i ) 2 - 1 2 - i C + D

2 = - 1 - 1 - i C + D

- i C + D = - 1

Juntando as duas equações:

i C + D = - 1 - i C + D = - 1

Somando ambas, temos:

2 D = - 2

D = - 1

Passo 6

Substituindo em qualquer uma delas (ou simplesmente observando que o C só pode ser zero mesmo):

i C - 1 = - 1 → i C = 0

C = 0

Portanto temos a decomposição:

x 2 + 3 x 4 - 1 = 1 x - 1 + - 1 x + 1 + - 1 x 2 + 1  

Plugando na integral:

∫ x 2 + 3 x 4 - 1 d x = ∫ 1 x - 1 - 1 x + 1 - 1 x 2 + 1 d x

Fazendo a distributiva e integrando:

∫ x 2 + 3 x 4 - 1 d x = ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + 1 - a r c t g x + C

Se quiser pode arrumar esse logaritmo, mas na real tanto faz.

Resposta

ln ⁡ x - 1 x + 1 - a r c t g x + C

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