1. Calcule as integrais abaixo:

∫ x 4 - 2 x 3 + 8 x 2 + x - 2 x 3 - x 2 + 3 x + 5 d x

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Partiu resolver mais uma questão pra arrasar na prova?

Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função aí. Mas essa não é uma função qualquer, ela e em feia na verdade, e não conseguimos resolvê-la pelos métodos mais simples diretamente. O jeito será melhorar a cara dessa função pra ver se fica melhor pra integrar.

Vamos fazer isso dividindo o polinômio que está no numerador pelo que está no denominador e depois abrindo essa função em frações parciais.

Vem comigo ver como fica.

Passo 2

A integral que precisamos resolver é:

∫ x 4 - 2 x 3 + 8 x 2 + x - 2 x 3 - x 2 + 3 x + 5 d x

A divisão de

x 4 - 2 x 3 + 8 x 2 + x - 2

Por

x 3 - x 2 + 3 x + 5

Não é exata. Ela dará

x - 1

terá um polinômio resto

4 x 2 - x + 3

Assim, nossa integral se torna:

∫ x - 1 + 4 x 2 - x + 3 x 3 - x 2 + 3 x + 5 d x

Veja que isso ainda não resolveu nosso problema, então vamos precisar usar frações parciais para trabalhar com essa fração feiosa que ainda está aí.

Passo 3

Vamos abrir em frações parciais

4 x 2 - x + 3 x 3 - x 2 + 3 x + 5

Podemos escrever

x 3 - x 2 + 3 x + 5 = ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 )

Assim:

4 x 2 - x + 3 x 3 - x 2 + 3 x + 5 = 4 x 2 - x + 3 ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 )

Que pode ser escrito como:

4 x 2 - x + 3 ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 ) = A ( x + 1 ) + B x + C ( x 2 - 2 x + 5 )

Tirando o m.m.c. entre ( x + 1 ) e ( x 2 - 2 x + 5 ) , ficamos com:

A ( x 2 - 2 x + 5 ) ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 ) + ( B x + C ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 )

Fazendo a distributiva:

A x 2 - 2 A x + 5 A + B x 2 + B x + C x + C ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 )

Agora comparando as duas frações, podemos fazer a redução a termos semelhantes

A x 2 - 2 A x + 5 A + B x 2 + B x + C x + C ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 ) = 4 x 2 - x + 3 ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 )

E montamos o sistema abaixo:

A + B = 4 - 2 A + B + C = - 1 5 A + C = 3

Resolvendo o sistema, vamos encontrar

A = 1

B = 3

C = - 2

E as frações parciais se tonam:

4 x 2 - x + 3 ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 5 ) = 1 ( x + 1 ) + 3 x - 2 ( x 2 - 2 x + 5 )

Show, agora precisamos encaixar tudo isso lá na nossa integral.

Passo 4

Organizando a integral, ficamos com

∫ x - 1 + 4 x 2 - x + 3 x 3 - x 2 + 3 x + 5 d x = ∫ x - 1 + 1 ( x + 1 ) + 3 x - 2 ( x 2 - 2 x + 5 ) d x

E separando cada parcela, ficamos com:

∫ x d x - ∫ 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x + ∫ 3 x x 2 - 2 x + 5 d x - ∫ 2 ( x 2 - 2 x + 5 ) d x

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Começando com:

∫ x d x = x 2 2

Passo 6

Agora

- ∫ 1 d x = - x

Passo 7

E para

∫ 1 x + 1 d x

Teremos que fazer uma substituição simples, fazendo

u = x + 1

d u = d x

A integral se torna:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Voltando para a variável x , teremos:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1

Passo 8

Para a integral

3 ∫ x x 2 - 2 x + 5 d x

O denominador pode ser transformado completando quadrados da seguinte forma:

x 2 - 2 x + 5 = x 2 - 2 x + 1 + 4

= x - 1 2 + 4

E a integral se torna:

3 ∫ x x - 1 2 + 4 d x

Usando a substituição simples, fazemos:

u = x - 1

d u = d x

x = u + 1

O que transforma a integral em:

3 ∫ u + 1 u 2 + 4 d x

3 ∫ u u 2 + 4 d x + ∫ 1 u 2 + 4 d x

Para a primeira fazemos outra substituição simples que irá resultar em:

ln ⁡ u 2 + 4 2

E voltando pra x fica:

ln ⁡ x 2 - 2 x + 5 2

Já a segunda é uma integral tabelada e seu valor é

arctan ⁡ u 2 2

Que voltando pra x fica:

arctan ⁡ x - 1 2 2

E assim montamos o resultado da terceira integral:

3 ∫ x x 2 - 2 x + 5 d x = 3 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 5 + 3 2 arctan ⁡ x - 1 2  

Passo 9

Por fim, vamos para a última integração

- ∫ 2 ( x 2 - 2 x + 5 ) d x

Completando quadrado, teremos:

- ∫ 2 x - 1 2 + 4 d x

E fazendo

u = x - 1

d u = d x

Teremos:

- ∫ 2 u 2 + 4 d u

Que vale:

- ∫ 2 u 2 + 4 d u = - arctan ⁡ x - 1 2

Agora, basta juntar todos os resultados das integrais para ter nossa resposta

Passo 10

Organizando todos os resultados ficamos com:

∫ x d x - ∫ 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x + ∫ 3 x x 2 - 2 x + 5 d x - ∫ 2 x 2 - 2 x + 5 d x

x 2 2 - x + ln ⁡ x + 1 + 3 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 5 + 3 2 arctan ⁡ x - 1 2 - 1 2 arctan ⁡ x - 1 2

Fazendo um último ajuste nessas duas últimas parcelas que são semelhantes e acrescentando a constante de integração c , teremos:

x 2 2 - x + ln ⁡ x + 1 + 3 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 5 + 1 2 arctan ⁡ x - 1 2 + c

E Depois de tudo isso, pega uma água, respira um pouco que você merece!!!

E, bora pra próxima!!!

😉

Passo 11

Resposta

x 2 2 - x + ln ⁡ x + 1 + 3 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 5 + 1 2 arctan ⁡ x - 1 2 + c

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