Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Integração por Frações Parciais

Calcule as integrais abaixo:

∫ ln ⁡ x 3 + 1 x 3 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante C )!

Olhando para a integral, vemos uma função logarítmica ( ln ⁡ x 3 + 1 ) e uma polinomial ( 1 x 3 ). Quando isso acontece, é interessante usar o método da integração por partes. Vamos lá!

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Passo 2

∫ ln ⁡ x 3 + 1 x 3 d x

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Devemos escolher u na seguinte ordem: função logarítmica ( ln ⁡ x ) > função inversa ( arcsen ⁡ x , arctg ⁡ x ,   … ) > função polinomial ( x n ) > função trigonométrica ( sen ⁡ x   x , cos ⁡ x , sec ⁡ x , ...) > função exponencial ( e x ).

u = ln ⁡ ( x 3 + 1 )     ( l o g a r í t m i c a ) d v = d x x 3 = x - 3 d x     ( p o l i n o m i a l )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = 1 x 3 + 1 ⋅ 3 x 2 d x v = - 1 2 x - 2 = - 1 2 x 2

3. Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ x 3 + 1 x 3 d x = - 1 2 x 2 ln ⁡ x 3 + 1 - ∫ - 1 2 x 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ 1 x 3 + 1 d x =

= - ln ⁡ x 3 + 1 2 x 2 + 3 2 ∫ 1 x 3 + 1 d x = - ln ⁡ x 3 + 1 2 x 2 + 3 2 I

4. Verificar se a integral ∫ v d u é possível de calcular. Se não, volte para o passo 1 e tente outro u e d v .

A integral I é uma divisão de polinômios, ou seja, pode ser calculada pelo método das frações parciais. Vamos aplicar o método para calculá-la.

Passo 3

I = ∫ 1 x 3 + 1 d x

1. Se o numerador tiver grau maior ou igual ao denominador, divida o numerador pelo denominador.

O grau do numerador ( 0 ) é menor do que o grau do denominador ( 3 ) .

2. Fatore o denominador para ele ficar na forma de um produto de termos.

1 x 3 + 1 = 1 ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

3. Desmembre a função racional em frações parciais com constantes nos numeradores.

1 ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) = A x + B x 2 - x + 1 + C x + 1

4. Faça o MMC, iguale os numeradores e agrupe as constantes.

1 ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) = A x + B x + 1 + C ( x 2 - x + 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

1 = A x 2 + A x + B x + B + C x 2 - C x + C

0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x + 1 = A + C x 2 + A + B - C x + ( B + C )

Passo 4

5. Resolva o sistema para achar as constantes.

  A + C = 0           ( 1 )   A + B - C = 0           ( 2 )       B + C = 1           ( 3 )

De 1 : A = - C

Substituindo em 2 :   B - 2 C = 0 → B = 2 C

E voltando em 3 :   3 C = 1 → C = 1 / 3

Temos:

A = - 1 3 ; B = 2 3

6. Substitua as constantes e prepare para integrar.

∫ 1 x 3 + 1 d x = ∫ - 1 3 x + 2 3 x 2 - x + 1 d x + ∫ 1 3 x + 1 d x =

= - 1 3 ∫ x d x x 2 - x + 1 + 2 3 ∫ d x x 2 - x + 1 + 1 3 ∫ d x x + 1 =

= - 1 3 I 1 + 2 3 I 2 + 1 3 I 3

Passo 5

7. Calcular as integrais

Vamos calcular cada integral separadamente:

I 1 = ∫ x d x x 2 - x + 1

Completando o quadrado:

∫ x d x x - 1 2 2 + 3 4

Fazendo a seguinte substituição:

u = x - 1 2 → d u = d x   e   x = u + 1 2

Aplicando:

∫ u + 1 2 d u u 2 + 3 4 = ∫ u   d u u 2 + 3 4 + 1 2 ∫ d u u 2 + 3 4

Vamos fazer a seguinte substituição para a primeira integral:

t = u 2 + 3 4 → d t = 2 u   d u → u   d u = 1 2 d t

Aplicando:

1 2 ∫ d t t + 1 2 ⋅ ∫ d u 3 4 2 3 u 2 + 1 =

= 1 2 ln ⁡ | t | + 2 3 ⋅ 3 2 arctg ⁡ 2 3 u =

= 1 2 ln ⁡ u 2 + 3 4 + 3 3 arctg ⁡ 2 3 u =

I 1 = 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 3 3 arctg ⁡ 2 x - 1 3

Calculando I 2 , vamos fazer de forma similar à integral anterior:

I 2 = ∫ d x x 2 - x + 1 = ∫ d x x - 1 2 2 + 3 4 =

= 4 3 ∫ d x x - 1 2 3 2 2 + 1 = 4 3 . 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3

Calculando I 3 :

I 3 = ∫ d x x + 1 = ln ⁡ | x + 1 |

Passo 6

I = - 1 3 I 1 + 2 3 I 2 + 1 3 I 3 =

= - 1 6 ln ⁡ x 2 - x + 1 - 2 9 . 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3 + 8 9 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3 + 1 3 ln ⁡ x + 1 =

= - 1 6 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 2 3 . 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3 + 1 3 ln ⁡ | x + 1 |

Por fim:

∫ ln ⁡ x 3 + 1 x 3 d x = - ln ⁡ x 3 + 1 2 x 2 + 3 2 I =

= - ln ⁡ x 3 + 1 2 x 2 - 1 4 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

OBS: se você acertou esse exercício, parabéns! Grandes chances de você mandar bem na prova. Se não acertou, tente fazer de novo sem olhar. Esse problema é gigante, mas é só seguir os passos com calma e ir resolvendo as integrais conforme forem aparecendo. Acaba sendo muito útil chamar as diversas integrais de I 1 ,   I 2 ,     I 3 , etc e calculá-las separadamente. Isso vai te ajudar a se organizar. Vamo que vamo!

Resposta

∫ ln ⁡ x 3 + 1 x 3 d x = - ln ⁡ x 3 + 1 2 x 2 - 1 4 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

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