Use o fato que ∫   1 a 2   +   x 2 d x   =   1 a a r c t g ( x a ) + k para calcular a integral ∫ 3 x + 1 5   +   x 2 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo nos ensinar uma técnica de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫ 3 x + 1 5   +   x 2 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular a integral de ∫ 3 x + 1 5   +   x 2 d x usando o fato que ∫   1 a 2   +   x 2 d x   =   1 a a r c t g ( x a ) + k

Como podemos começar essa integral? o que vocês acham?

Vamos começar separando nossa integral em duas:

(usando a linearidade da integral)

∫ 3 x + 1 5   +   x 2 d x = ∫ 3 x 5   +   x 2 d x + ∫ 1 5   +   x 2 d x  

Agora temos duas integrais para calcular, vamos começar pela integral da direita ∫ 1 5   +   x 2 d x .

Passo 3

Calculando ∫ 1 5   +   x 2 d x :

Usando o resultado dado no enunciado

  ∫ 1 5   +   x 2 d x   = ( 1 5 a r c t g ( x 5 ) + k )  

Agora vamos obter ∫ 3 x 5   +   x 2 d x . Essa integral parece complicada né? Mas uma boa dica é tentar verificar a derivada de funções conhecidas para ver se obtemos algo próximo ao que está dentro da integral.

Vamos verificar a função l n

d d x   l n ( a + x 2 )   =   1 a   +   x 2 * 2 x

Olhá só, é bem parecido com o que queremos!!!!!

Passo 4

Usando a derivada do logo que calculamos no passo anterior temos:

∫ 3 x 5   +   x 2 d x   =     3 ∫ x 5   +   x 2 d x

(usando a derivada que calculamos no passo anterior com a=5)

= 3 ( 1 2 ) *   l n ( 5   +   x 2 )

Juntando os dois resultados obtemos a integral de interesse. Então,

∫ 3 x + 1 5   +   x 2 d x   = ( 3 2 )   l n ( 5   +   x 2 )   +   1 5 a r c t g ( x 5 )   +   k

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

( 3 2 )   l n ( 5   +   x 2 )   +   1 5 a r c t g ( x 5 )   +   k

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