Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2019.1, Questão Q02c

2c) Calcule as seguintes integrais

1 x 2 - 4 x + 3 d x

Passo 1

Essa integral é daquelas que tem a cara típica de uma técnica de integração. Quando a gente tem quociente de polinômios na integral, é justíssimo tentarmos frações parciais, beleza? Pra isso, vamos começar tentando reescrever o denominador. Por Bháskara, seja:

x 2 - 4 x + 3 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Vamos ter:

x 1,2 = 4 ± 16 - 4 . 1.3 2 = 4 ± 16 - 12 2 = 4 ± 4 2 = 4 ± 2 2

x 1,2 = 2 ± 1 x 1 = 3 x 2 = 1

E logo o polinômio fica:

x 2 - 4 x + 3 = x - 3 x - 1

E a integral é reescrita para:

1 x 2 - 4 x + 3 d x = 1 x - 3 x - 1 d x = A x - 3 d x + B x - 1 d x

Pô, beleza! Essas integrais que sobraram são de resolução direta! Vamos ter o seguinte resultado:

1 x 2 - 4 x + 3 d x = A ln x - 3 + B ln x - 1 + C

Vai faltar determinar somente quem são essas constantes A , B

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra achar essas constantes, pega essa igualdade aqui ó:

1 x - 3 x - 1 d x = A x - 3 d x + B x - 1 d x

Agora tira as integrais que elas tão atrapalhando a gente:

1 x - 3 x - 1 = A x - 3 + B x - 1

Colocando tudo no mesmo denominador e depois cortando ele, temos:

1 x - 3 x - 1 = A x - 1 x - 3 x - 1 + B x - 3 x - 3 x - 1

1 = A x - 1 + B x - 3

E agora ajeitando um pouco essa igualdade, olha só o que acontece:

1 = A x - A + B x - 3 B

0 x + 1 = A + B x + - A - 3 B

Isso permite a gente pegar as duas igualdades abaixo:

A + B = 0 - A - 3 B = 1

Show de bola! Duas equações e duas variáveis? A gente tira de letra! Somando as duas equações, temos:

- 2 B = 1

B = - 1 2

O que implica em:

A = 1 2

E taí! A resposta final vai ser:

1 x 2 - 4 x + 3 d x = A ln x - 3 + B ln x - 1 + C

1 x 2 - 4 x + 3 d x = 1 2 ln x - 3 - 1 2 ln x - 1 + C

Resposta

1 x 2 - 4 x + 3 d x = 1 2 ln x - 3 - 1 2 ln x - 1 + C

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