Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

USP, Cálculo 1, P3 - 2012, Questão 1 a

Calcule:

a   4 x 2 + 13 x + 16 x 3 + 4 x 2 + 8 x d x

Passo 1

Integral com uma divisão de polinômios tão característica assim é a chamada para tentar resolver por frações parciais. Vamos abrir o termo do denominador da melhor maneira possível:

x 3 + 4 x 2 + 8 x = x x 2 + 4 x + 8

É estranho, mas não dá para abrir mais que isso, o x 2 + 4 x + 8 é um termo irredutível do segundo grau (ou seja, não tem raízes). Vamos abrir o termo por frações parciais então:

4 x 2 + 13 x + 16 x 3 + 4 x 2 + 8 x = A x + B x + C x 2 + 4 x + 8

4 x 2 + 13 x + 16 x 3 + 4 x 2 + 8 x = A + B x 2 + 4 A + C x + 8 A x 3 + 4 x 2 + 8 x

Vamos resolver o sistema com as igualdades dos termos de cada lado com mesmo grau de x :

A + B = 4 4 A + C = 13 8 A = 16

A = 2   ; B = 2   ; C = 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Voltando para integral agora:

4 x 2 + 13 x + 16 x 3 + 4 x 2 + 8 x d x = 2 x d x + 2 x + 5 x 2 + 4 x + 8 d x

2 x d x + 2 x + 4 x 2 + 4 x + 8 d x + 1 x 2 + 4 x + 8 d x

A primeira integral vai virar ln x :

2 x d x = 2 ln x

Para a segunda, podemos fazer uma substituição com o denominador:

u = x 2 + 4 x + 8 d u = 2 x + 4 d x

2 x + 4 x 2 + 4 x + 8 d x = d u u = ln u

= ln x 2 + 4 x + 8

A terceira vai dar um pouco mais de trabalho...

Passo 3

A resolução desse terceiro termo precisa de um pouco de abstração.

1 x 2 + 4 x + 8 d x

Se você não conseguiu fazer, não se sinta nem um pouco mal, é uma jogada bem difícil de se pensar sem conhecer a primeira vez.

Vou fazer aquilo que nós chamamos de completar quadrado. Imagina essa situação aqui abaixo:

x 2 + 2 a x + b = x 2 + 2 a x + a 2 + b - a 2

= x + a 2 + b - a 2

Vou fazer isso com o denominador, olha aqui:

x 2 + 4 x + 8 = x 2 + 4 x + 4 + 8 - 4

= x + 2 2 + 4

Eu sei que ainda não deve estar claro o que eu estou fazendo, mas confia:

1 x 2 + 4 x + 8 = 1 x + 2 2 + 4

Vou dividir agora tudo (em cima e embaixo) pelo que eu tinha chamado de b - a 2 , esse 4 que sobrou aí:

1 4 x + 2 2 4 + 4 4 = 1 4 x + 2 2 2 + 1

Agora eu vou pegar esse termo x + 2 2 e chamar de uma variável auxiliar t :

t = x + 2 2 d t = d x 2

Assim, vai ficar:

1 x 2 + 4 x + 8 d x = d x 4 x + 2 2 2 + 1

= d t 2 t 2 + 1 = 1 2 d t t 2 + 1

E essa é a integral do arco-tangente! E assim, num passe de mágica:

1 2 d t t 2 + 1 = arctg t 2

= arctg x + 2 2 2

Passo 4

Vamos agrupar as três integrais que calculamos agora:

4 x 2 + 13 x + 16 x 3 + 4 x 2 + 8 x d x

= 2 x d x + 2 x + 4 x 2 + 4 x + 8 d x + 1 x 2 + 4 x + 8 d x

= 2 ln x + ln x 2 + 4 x + 8 + arctg x + 2 2 2 + C

Resposta

4 x 2 + 13 x + 16 x 3 + 4 x 2 + 8 x d x = 2 ln x + ln x 2 + 4 x + 8 + arctg x + 2 2 2 + C

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